Sabendo que a relação entre volume e pressão para um gás ideal é dada por V^gamma p=C, onde gamma=cpcV e C é uma contante, responda:
Encontre a relação entre a pressão e temperatura para este gás, isto é, a relação entre p e T. Escreva sua resposta em função de C, nu (número de mols), R e gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre a relação entre pressão e temperatura para um gás ideal. A gente já sabe que para um gás ideal, a relação entre volume e pressão é dada por , onde e é uma constante. Nosso objetivo aqui é descobrir como a pressão ( ) se relaciona com a temperatura ( ) usando essa equação. Para isso, vamos precisar lembrar da Lei dos Gases Ideais e fazer algumas manipulações matemáticas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei dos Gases Ideais, que é uma ferramenta fundamental para resolver esse tipo de problema. A Lei dos Gases Ideais é dada por:
p V = n R T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura.
Essa equação nos permite relacionar pressão, volume e temperatura de um gás ideal.

Passo 3

Nosso ponto de partida é a equação fornecida na questão:
V^gamma p = C
Queremos expressar V = n R Tp em função de ( n R Tp )^gamma p = C . Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para substituir na equação acima.
Da Lei dos Gases Ideais, podemos isolar :
Agora, vamos substituir esse valor de na equação :

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
( n R Tp )^gamma p = C
Primeiro, vamos elevar a fração a (n R T)^gammap^gamma cdot p = C :
(n R T)^gammap^gamma - 1 = C
Agora, podemos combinar os termos de :

Passo 5

Agora, vamos isolar p^gamma - 1 = (n R T)^gammaC :
p = ( (n R T)^gammaC )^1gamma - 1
Para encontrar em termos de , vamos elevar ambos os lados da equação ao poder de :

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências. Lembre-se que p = (n R)^gammagamma - 1C^1gamma - 1 cdot T^gammagamma - 1 . Aplicando isso:

Passo 7

Para deixar a expressão mais limpa, podemos reescrever os expoentes:
p = ( Cn R )^11 - gamma cdot T^gammagamma - 1
Isso nos dá a relação entre pressão e temperatura em termos de , , e .

Resposta

A relação entre a pressão p = ( Cn R )^11 - gamma cdot T^gammagamma - 1 e a temperatura para o gás ideal é dada por:

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