Sabendo que a relação entre volume e pressão para um gás ideal é dada por V^gamma p=C, onde gamma=cpcV e C é uma contante, responda:
Usando a relação de Maxwell apropriada, calcule a variação de entropia, De, do gás em função da temperatura T quando o mesmo vai do volume V1 até o volume V2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a relação entre volume e pressão para um gás ideal: , onde e é uma constante. Nosso objetivo é calcular a variação da entropia, , do gás quando ele passa de um volume para , usando a relação de Maxwell apropriada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especificamente sobre as relações de Maxwell e como elas se aplicam na mudança de entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é entropia. Entropia, , é uma medida da desordem ou da quantidade de informação necessária para descrever o estado de um sistema. A variação de entropia, , pode ser calculada usando relações termodinâmicas que conectam diferentes propriedades do gás, como temperatura, volume e pressão.

Passo 3

A relação de Maxwell que vamos usar relaciona as derivadas parciais de entropia. Especificamente, sabemos que:
( partial Spartial V )T = ( partial Ppartial T )V
Essa relação nos permite conectar a variação da entropia com a variação da pressão em função da temperatura.

Passo 4

Vamos encontrar p = C V^-gamma a partir da relação ( partial ppartial T )V = C cdot (-gamma) V^-gamma - 1 cdot ( partial Vpartial T )V . Primeiro, resolvemos para ( partial ppartial T )V = 0 :
Agora, diferenciando em relação a mantendo constante, temos:
Mas, como é mantido constante, , o que simplifica para:
Isso indica que, nessa condição, a variação da pressão com a temperatura é nula, o que parece contradizer nossa expectativa. Vamos revisar nossa abordagem.

Passo 5

Na verdade, a relação correta liga a variação da entropia à variação da temperatura e do volume. Sabemos que para um gás ideal, a entropia pode ser expressa como:
S = cV ln T + R ln V + constante
Portanto, a variação de entropia quando o volume muda de De para T propto V^1 - gamma é:
De
Como a relação De implica que De, podemos substituir em termos de :
Substituindo na expressão para :
Simplificando:
Como e , podemos substituir :
Isso sugere que a variação de entropia é zero, indicando um processo isoentálpico.

Resposta

A variação de entropia do gás é zero.

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