(2,00 pontos) Você está realizando o estudo de uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal, com média
desvio padrão
. Calcule a probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média. (1,00 ponto para o desenho da situação / 1,00 ponto para o cálculo correto da probabilidade).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média em uma distribuição normal. Então, vamos trabalhar com distribuição normal, média (
) e desvio padrão (
) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É uma forma de distribuição de probabilidade que é simétrica em torno da média, mostrando que os dados próximos à média são mais frequentes. A média (
) é o ponto central, e o desvio padrão (
) mede o quanto os dados se espalham em relação à média.
Passo 3
O que a gente quer é a probabilidade de uma observação (
) estar dentro de um desvio padrão da média. Isso significa que
está entre
e
. Em termos matemáticos, queremos calcular:
Passo 4
Para facilitar, vamos padronizar essa expressão usando a variável Z da distribuição normal padrão, onde:
Então, podemos reescrever nossa probabilidade assim:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre -1 e 1 na distribuição normal padrão. Sabemos, pelo Teorema Empírico, que aproximadamente 68% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média.
Resposta
A probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média é aproximadamente 68%.