(2,00 pontos) Você está realizando o estudo de uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal, com média mu e desvio padrão sigma. Calcule a probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média. (1,00 ponto para o desenho da situação / 1,00 ponto para o cálculo correto da probabilidade).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média em uma distribuição normal. Então, vamos trabalhar com distribuição normal, média ( mu) e desvio padrão ( sigma) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É uma forma de distribuição de probabilidade que é simétrica em torno da média, mostrando que os dados próximos à média são mais frequentes. A média ( mu) é o ponto central, e o desvio padrão ( sigma) mede o quanto os dados se espalham em relação à média.

Passo 3

O que a gente quer é a probabilidade de uma observação ( X) estar dentro de um desvio padrão da média. Isso significa que X está entre mu - sigma e mu + sigma. Em termos matemáticos, queremos calcular:
P(mu - sigma <= X <= mu + sigma)

Passo 4

Para facilitar, vamos padronizar essa expressão usando a variável Z da distribuição normal padrão, onde:
Z = X - musigma
Então, podemos reescrever nossa probabilidade assim:
P(-1 <= Z <= 1)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de Z estar entre -1 e 1 na distribuição normal padrão. Sabemos, pelo Teorema Empírico, que aproximadamente 68% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média.

Resposta

A probabilidade de uma observação estar a uma distância de até um desvio padrão da média é aproximadamente 68%.

Exercícios relacionados