03- Combinando o primeiro e o segundo princípios, deduza a expressão diferencial da entropia em função da temperatura e do volume:
Particularize esta expressão para um gás ideal monoatômico.
Particularize esta expressão para um gás ideal monoatômico.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos deduzir a expressão diferencial da entropia
em função da temperatura
e do volume
. Depois, essa expressão deve ser específica para um gás ideal monoatômico. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como calor específico e as leis dos gases ideais.
Passo 2
Começamos com a expressão geral dada:
Aqui,
é o calor específico a volume constante,
é a temperatura,
é a pressão e
é o volume. Essa equação relaciona a variação da entropia com variações de temperatura e volume.
Passo 3
Vamos entender cada termo:
-
: Representa a contribuição da variação da temperatura para a entropia. -
: Representa a contribuição da variação do volume para a entropia, mantendo o volume constante.
Passo 4
Para um gás ideal, sabemos que a pressão
, volume
e temperatura
estão relacionados pela equação de estado:
onde
é o número de mols e
é a constante dos gases ideais.
Passo 5
Vamos derivar
para um gás ideal. Mantendo
constante, derivamos a equação de estado em relação a
:
Passo 6
Substituindo
na expressão original da entropia:
Passo 7
Para um gás ideal monoatômico, o calor específico a volume
é dado por:
Isso vem da teoria cinética dos gases, onde cada átomo contribui com
para o calor específico.
Passo 8
Substituindo
na expressão da entropia:
Simplificando:
Resposta
A expressão diferencial da entropia para um gás ideal monoatômico é: