05- Calcule a variação de entropia do sistema, quando uma amostra de 14 g de nitrogênio gasoso, considerado como um gás ideal diatômico, inicialmente a 298 K e 1,00 atm duplica o seu volume numa expansão adiabática reversível. Suponha agora que o sistema seja levado desde o mesmo estado inicial até o mesmo estado final do caso anterior mediante um processo com duas etapas reversíveis: uma isobárica e uma isométrica. Calcule a variação de entropia do sistema em cada uma destas etapas.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo. Temos uma amostra de 14 g de nitrogênio gasoso (N₂), que é considerado um gás ideal diatômico. Inicialmente, esse gás está a 298 K e 1,00 atm. O exercício nos coloca em duas situações:
  1. Primeira Situação: O volume do gás dobra em uma expansão adiabática reversível.
  2. Segunda Situação: O mesmo gás é levado do estado inicial ao mesmo estado final da primeira situação, mas agora por um processo de duas etapas reversíveis: uma isobárica (pressão constante) e uma isométrica (volume constante).
Nosso objetivo é calcular a variação de entropia do sistema em cada uma dessas etapas na segunda situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica como entropia, processos isobárico e isométrico, além das propriedades dos gases ideais diatômicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expansão adiabática reversível. Em uma expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente (Q = 0). Como o processo é reversível, podemos usar as relações termodinâmicas para gases ideais.
Sabemos que para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal, a seguinte relação se aplica:
PV^gamma = constante
onde Cp = 72R
Como o nitrogênio é um gás diatômico, sabemos que:
Cv = 52R
gamma = 7/2 R5/2 R = 75 = 1,4
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de mols de nitrogênio na amostra. A massa molar do N₂ é aproximadamente 28 g/mol.
n = 14,g28,g/mol = 0,5,mol
Usando a equação dos gases ideais Vi = nRTP = 0,5 times 0,0821,L,atm/mol,K times 298,K1,00,atm approx 12,2,L , podemos encontrar o volume inicial :

Passo 4

Na expansão adiabática reversível, o volume dobra:
Vf = 2 times Vi = 24,4,L
Usando a relação adiabática Pf = Pi ( ViVf )^gamma = 1,00,atm ( 12,224,4 )^1,4 approx 1,00 times (0,5)^1,4 approx 0,38,atm , podemos encontrar a pressão final Tf = Ti ( ViVf )^gamma - 1 = 298,K times (0,5)^0,4 approx 298 times 0,757 approx 225,5,K :
Também podemos encontrar a temperatura final usando a relação:

Passo 5

Agora, vamos considerar o processo alternativo de duas etapas: primeiro, uma expansão isobárica (pressão constante) até um certo volume intermediário, e depois uma expansão isométrica (volume constante) até o volume final de 24,4 L.
Vamos chamar o volume intermediário de e a temperatura intermediária de .
Na etapa isobárica, a pressão é constante em 1,00 atm, e o volume muda de 12,2 L para . Na etapa isométrica, o volume permanece em , e a pressão muda de 1,00 atm para 0,38 atm.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar o volume intermediário VfVi = TmTi durante a etapa isobárica. Sabemos que, ao final do processo, o volume total é Tm = Ti times VfVi = 298,K times 2 = 596,K L. Mas na etapa isométrica, o volume permanece , então na verdade, precisamos reconsiderar nosso caminho.
Na verdade, uma maneira mais clara é primeiro realizar a expansão isobárica até a temperatura final , e depois ajustar a pressão através de um processo isométrico para chegar ao estado final.
Vamos calcular a temperatura após a etapa isobárica ( ):

Passo 7

Agora, na segunda etapa, que é a isométrica (volume constante), queremos reduzir a temperatura de para mantendo o volume constante. Isso resultará na pressão final .

Passo 8

Agora, vamos calcular a variação de entropia em cada etapa. A variação de entropia para um processo reversível é dada por:
De
Para processos isobárico e isométrico, usamos as seguintes relações:
  • Processo Isobárico:
    De
  • Processo Isométrico:
    De
Lembrando que e .

Passo 9

Vamos calcular agora as variações de entropia:
Etapa 1: Processo Isobárico
Deá
= 0,5,mol times 72 times 8,314,J/mol cdot K times ln ( 596298 )
= 0,5 times 29,099,J/K times ln(2)
approx 14,55,J/K times 0,693
approx 10,08,J/K
Etapa 2: Processo Isométrico
Deé
= 0,5,mol times 52 times 8,314,J/mol cdot K times ln ( 225,5596 )
= 0,5 times 20,785,J/K times ln(0,378)
approx 10,3925,J/K times (-0,972)
approx -10,10,J/K

Resposta

A variação de entropia do sistema em cada etapa é:
  • Etapa Isobárica:
  • Etapa Isométrica:

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