10/06
Dados os vetores
e
, achar o valor de
em cada um dos seguintes casos:
© O volume do paralelepípedo formado por
e
é 1 .
Dados os vetores
© O volume do paralelepípedo formado por
Passo 1
Beleza, temos que resolver um exercício de geometria vetorial. A gente precisa encontrar o valor de $ a $ que torna o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $ -u $, $ \frac{1}{2}v $ e $ w $ igual a 1. Para isso, vamos usar a fórmula do produto misto que envolve produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume do paralelepípedo. O volume é dado pelo valor absoluto do produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Ou seja:
Então, precisamos calcular $ \frac{1}{2}v \times w $ e depois fazer o produto escalar com $ -u $.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ v \times w $ primeiro. Com $ v = (1, 2, -3) $ e $ w = (-3, a, 5) $, temos:
Calculando o determinante:
Agora, multiplicamos por $ \frac{1}{2} $:
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar com $ -u $. Com $ u = (2, -1, 1) $, temos $ -u = (-2, 1, -1) $:
Simplificando:
Para somar os termos, colocamos tudo com denominador 2:
Passo 5
O volume é o valor absoluto desse resultado igual a 1:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso nos dá duas equações:
- $ -22 - 7a = 2 $
- $ -22 - 7a = -2 $
Resposta
O valor de $ a $ pode ser $ -\dfrac{24}{7} $ ou $ -\dfrac{20}{7} $.