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Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,2,-3) e w=(-3, a, 5), achar o valor de a in R em cada um dos seguintes casos:
© O volume do paralelepípedo formado por -u, 12 v e w é 1 .

Passo 1

Beleza, temos que resolver um exercício de geometria vetorial. A gente precisa encontrar o valor de $ a $ que torna o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $ -u $, $ \frac{1}{2}v $ e $ w $ igual a 1. Para isso, vamos usar a fórmula do produto misto que envolve produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume do paralelepípedo. O volume é dado pelo valor absoluto do produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Ou seja:
Volume = | (-u) cdot ( 12v times w ) |
Então, precisamos calcular $ \frac{1}{2}v \times w $ e depois fazer o produto escalar com $ -u $.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial $ v \times w $ primeiro. Com $ v = (1, 2, -3) $ e $ w = (-3, a, 5) $, temos:
v times w
Calculando o determinante:
v = (1, 2, -3)
w = (-3, a, 5)
v times w = i & j & k 1 & 2 & -3 -3 & a & 5
Agora, multiplicamos por $ \frac{1}{2} $:
v times w = (2 cdot 5 - (-3) cdot a)i - (1 cdot 5 - (-3) cdot (-3))j + (1 cdot a - 2 cdot (-3))k

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar com $ -u $. Com $ u = (2, -1, 1) $, temos $ -u = (-2, 1, -1) $:
-u
Simplificando:
u = (2, -1, 1)
-u = (-2, 1, -1)
(-u) cdot ( 12v times w ) = (-2) cdot 10 + 3a2 + 1 cdot 2 + (-1) cdot a + 62
= -2(10 + 3a)2 + 2 - a + 62
Para somar os termos, colocamos tudo com denominador 2:
= -(10 + 3a) + 2 - a + 62

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse resultado igual a 1:
| -22 - 7a2 | = 1
Multiplicando ambos os lados por 2:
| -22 - 7a | = 2
Isso nos dá duas equações:
  1. $ -22 - 7a = 2 $
-22 - 7a = 2
  1. $ -22 - 7a = -2 $
-7a = 24 Rightarrow a = -247

Resposta

O valor de $ a $ pode ser $ -\dfrac{24}{7} $ ou $ -\dfrac{20}{7} $.

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