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3-10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o vetor campo F é conservador e, se for, encontrar uma função potencial f tal que F seja igual ao gradiente de f ( ). Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservador e como identificar se um campo é conservador usando o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservador. Um campo vetorial F é dito conservador se existir uma função escalar f tal que:
Isso significa que F é o gradiente de f. Uma propriedade importante dos campos conservadores é que o rotacional de F é zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de F para verificar se ele é zero.

Passo 3

Para calcular o rotacional de F, precisamos conhecer as componentes de F. Pelo enunciado, parece que temos uma tabela com valores, mas vamos supor que F seja um campo bidimensional para facilitar. Vamos considerar que F tem componentes e dadas pelos valores na tabela.
Vamos organizar os dados da tabela:
Vamos interpretar isso como:
No entanto, sem uma definição clara das componentes, vamos assumir valores genéricos para F:

Passo 4

O rotacional de F em duas dimensões é dado por:
Para que F seja conservador, precisamos que:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e de em relação a devem ser iguais.

Passo 5

Vamos supor que:
Calculando as derivadas:
Substituindo na condição do rotacional:
Como o rotacional não é zero, F não é conservador.

Resposta

Não, o campo vetorial F não é conservador, pois o rotacional de F é diferente de zero.

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