Seja varphi:(a, b) -> R uma função derivável no intervalo (a, b). Mostre que se phi é convexa então a derivada phi' é não-decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se uma função é convexa no intervalo e diferenciável, então a sua derivada não está decrescendo, ou seja, ela é não-decrescente. Aqui estamos trabalhando com conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre funções convexas e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser convexa e como isso se relaciona com a derivada dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função convexa. Uma função é convexa no intervalo se, para quaisquer dois pontos e nesse intervalo e para qualquer entre 0 e 1, a seguinte desigualdade vale:
Essa definição basicamente diz que a linha que liga dois pontos na curva da função está sempre acima ou na própria curva, o que dá a “forma de uma tigela” para a função.

Passo 3

Agora, vamos pensar na derivada . A derivada em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, a inclinação da tangente à curva da função nesse ponto. Se queremos mostrar que é não-decrescente, precisamos provar que a derivada não diminui conforme avançamos no intervalo .

Passo 4

Uma propriedade importante das funções convexas é que sua segunda derivada, se existir, é não-negativa. Ou seja, para todo . Vamos utilizar essa ideia, mas como o exercício só garante que é diferenciável (não necessariamente duas vezes diferenciável), vamos usar uma abordagem baseada no primeiro princípio.

Passo 5

Vamos considerar dois pontos e no intervalo com . Como é convexa, a sua derivada à direita em é menor ou igual à derivada à esquerda em :
Isso significa que conforme avançamos de para , a derivada não diminui, ou seja, é não-decrescente.

Passo 6

Para formalizar isso, vamos usar o conceito de limite da derivada. Considerando diferenciável, para qualquer , temos:
ao deixar tender a zero, essa desigualdade implica que:
O que confirma que a derivada está aumentando ou, no mínimo, não está diminuindo conforme avançamos no intervalo.

Resposta

Portanto, mostramos que se é uma função convexa e diferenciável no intervalo , então a sua derivada é não-decrescente.

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