Seja
uma função derivável no intervalo
. Mostre que se
é convexa então a derivada
é não-decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se uma função
é convexa no intervalo
e diferenciável, então a sua derivada
não está decrescendo, ou seja, ela é não-decrescente. Aqui estamos trabalhando com conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre funções convexas e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser convexa e como isso se relaciona com a derivada dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função convexa. Uma função
é convexa no intervalo
se, para quaisquer dois pontos
e
nesse intervalo e para qualquer
entre 0 e 1, a seguinte desigualdade vale:
Essa definição basicamente diz que a linha que liga dois pontos na curva da função está sempre acima ou na própria curva, o que dá a “forma de uma tigela” para a função.
Passo 3
Agora, vamos pensar na derivada
. A derivada em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, a inclinação da tangente à curva da função nesse ponto. Se queremos mostrar que
é não-decrescente, precisamos provar que a derivada não diminui conforme avançamos no intervalo
.
Passo 4
Uma propriedade importante das funções convexas é que sua segunda derivada, se existir, é não-negativa. Ou seja,
para todo
. Vamos utilizar essa ideia, mas como o exercício só garante que
é diferenciável (não necessariamente duas vezes diferenciável), vamos usar uma abordagem baseada no primeiro princípio.
Passo 5
Vamos considerar dois pontos
e
no intervalo
com
. Como
é convexa, a sua derivada à direita em
é menor ou igual à derivada à esquerda em
:
Isso significa que conforme avançamos de
para
, a derivada não diminui, ou seja,
é não-decrescente.
Passo 6
Para formalizar isso, vamos usar o conceito de limite da derivada. Considerando
diferenciável, para qualquer
, temos:
ao deixar
tender a zero, essa desigualdade implica que:
O que confirma que a derivada está aumentando ou, no mínimo, não está diminuindo conforme avançamos no intervalo.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é uma função convexa e diferenciável no intervalo
, então a sua derivada
é não-decrescente.