Seja varphi: R -> R definida assim: phi(x) = 0, se x for irracional. Se x for racional, tome a representação de x por uma fração irredutível p/q, onde q > 0, defina phi(x) = 1/q. Mostre que phi é contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma função que é definida de duas formas: se for irracional, , e se for racional, na forma reduzida , então . O objetivo é mostrar que essa função é contínua nos números irracionais e descontínua nos racionais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções na matemática, especialmente o que significa uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto . A função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . Ou seja, . Se isso for verdadeiro para todos os pontos em algum conjunto, a função é contínua nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar analisando a continuidade nos números irracionais. Seja um número irracional. Sabemos que , porque é irracional. Agora, precisamos ver se .

Passo 4

Para qualquer sequência de números que se aproxima de , se for irracional, então . Se for racional, expresso como , . Como os racionais são densos, podemos ter tanto racionais quanto irracionais próximos a .

Passo 5

Agora, o que acontece com quando ? Para que a sequência se aproxime de , os denominadores devem crescer sem limite, ou seja, . Isso faz com que .

Passo 6

Assim, não importa se nos aproximamos de por racionais ou irracionais, o limite de sempre será , que é justamente . Portanto, a função é contínua em todos os números irracionais.

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade nos números racionais. Seja um número racional reduzido. Temos que . Para que seja contínua em , precisaríamos que .

Passo 8

No entanto, podemos aproximar por uma sequência de números irracionais, para os quais . Portanto, , que é diferente de .

Passo 9

Como o limite da função quando se aproxima de não é igual ao valor da função em , concluímos que é descontínua nos números racionais.

Resposta

A função é contínua em todos os números irracionais e descontínua em todos os números racionais.

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