Seja
definida assim:
, se
for irracional. Se
for racional, tome a representação de
por uma fração irredutível
, onde
, defina
. Mostre que
é contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma função
que é definida de duas formas: se
for irracional,
, e se
for racional, na forma reduzida
, então
. O objetivo é mostrar que essa função é contínua nos números irracionais e descontínua nos racionais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções na matemática, especialmente o que significa uma função ser contínua em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto
. A função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Ou seja,
. Se isso for verdadeiro para todos os pontos
em algum conjunto, a função é contínua nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar analisando a continuidade nos números irracionais. Seja
um número irracional. Sabemos que
, porque
é irracional. Agora, precisamos ver se
.
Passo 4
Para qualquer sequência de números
que se aproxima de
, se
for irracional, então
. Se
for racional, expresso como
,
. Como os racionais são densos, podemos ter tanto racionais quanto irracionais próximos a
.
Passo 5
Agora, o que acontece com
quando
? Para que a sequência
se aproxime de
, os denominadores
devem crescer sem limite, ou seja,
. Isso faz com que
.
Passo 6
Assim, não importa se nos aproximamos de
por racionais ou irracionais, o limite de
sempre será
, que é justamente
. Portanto, a função
é contínua em todos os números irracionais.
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade nos números racionais. Seja
um número racional reduzido. Temos que
. Para que
seja contínua em
, precisaríamos que
.
Passo 8
No entanto, podemos aproximar
por uma sequência de números irracionais, para os quais
. Portanto,
, que é diferente de
.
Passo 9
Como o limite da função quando
se aproxima de
não é igual ao valor da função em
, concluímos que
é descontínua nos números racionais.
Resposta
A função
é contínua em todos os números irracionais e descontínua em todos os números racionais.