[10 pontos] Considere o problema de Robin homogêneo
Encontre a solução através do método de separação de variáveis e séries de Fourier, explicando e justificando TODOS os detalhes da obtenção da solução, inclusive encontrando os autovalores e autofunções do problema de Sturm-Liouville associado, e mostrando e verificando a existência da extensão da condição inicial correspondente à série de Fourier usada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação de calor (uma equação diferencial parcial) com condições de contorno de Robin homogêneas. O objetivo é encontrar a solução dessa equação usando o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Para isso, vamos precisar entender bem esses métodos, além de resolver um problema associado de Sturm-Liouville para encontrar os autovalores e as autofunções necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de separação de variáveis. A ideia aqui é supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de X(x) cdot T'(t) = X''(x) cdot T(t) e outra que depende só de T'(t)T(t) = X''(x)X(x) . Ou seja:
T'(t)T(t) = -lambda e X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo isso na equação dada , temos:
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende só de e o lado direito só de , ambos devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de :
Passo 3
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias para resolver:
Para T'(t) + lambda T(t) = 0 :
T(t) = C e^-lambda t
Essa é uma equação linear de primeira ordem cuja solução é:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Onde é uma constante.
Para :
Essa é uma equação homogênea de segunda ordem com soluções que dependem do valor de . Vamos explorar as possibilidades.
Passo 4
Assumindo que X''(x) + mu^2 X(x) = 0 (para evitar soluções triviais), podemos escrever X(x) = A cos(mu x) + B sin(mu x) . Assim, a equação para fica:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de ux(0, t) = 0 e u(1, t) = 0 (autovalores) e as respectivas funções X'(x) = -A mu sin(mu x) + B mu cos(mu x) (autofunções).
As condições de contorno são:
-A mu sin(0) + B mu cos(0) = B mu = 0
Traduzindo para A cos(mu) = 0 :
Derivando cos(mu) = 0 :
mu = ( n + 12 )pi onde n = 0, 1, 2, ldots
Aplicando lambdan = mun^2 = ( ( n + 12 )pi )^2 :
Xn(x) = cos( ( n + 12 )pi x )
Isso implica que .
Agora, .
Aplicando :
Como (para ter uma solução não trivial), precisamos que:
Isso ocorre quando:
Então, os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:
Passo 6
Com os autovalores e autofunções em mãos, podemos escrever a solução geral da equação de calor como uma série de Fourier:
u(x, t) = sumn=0^infty Cn cos( ( n + 12 )pi x ) e^-( ( n + 12 )pi )^2 t
Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial .
Passo 7
Para encontrar os coeficientes 1 = sumn=0^infty Cn cos( ( n + 12 )pi x ) , expandimos a condição inicial em série de Fourier:
Cn = 2 integral0^1 1 cdot cos( ( n + 12 )pi x ) dx
Os coeficientes Cn = 2( n + 12 )pi [ sin( ( n + 12 )pi x ) ]0^1 são dados pela fórmula de Fourier para funções ímpares em relação aos modos encontrados:
Cn = 2( n + 12 )pi ( sin( ( n + 12 )pi ) - 0 )
Calculando essa integral:
sin( ( n + 12 )pi ) = (-1)^n
Cn = 2 (-1)^n( n + 12 )pi
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A solução do problema é
u(x,t) = sumn=0^infty 2 (-1)^n( n + 12 )pi cos( ( n + 12 )pi x ) e^-( ( n + 12 )pi )^2 t