[1 ponto] Faça um esboço do gráfico da série de Fourier a mão para a soma parcial com 5 termos. Não é necessário justificar esta questão: use apenas a intuição que você adquiriu no estudo de séries de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico da série de Fourier usando uma soma parcial com 5 termos. Isso significa que vamos aproximar a função original usando apenas os primeiros 5 termos da série de Fourier. Para isso, precisamos entender que a série de Fourier decompõe uma função periódica em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier geral tem a forma:
Como vamos usar apenas 5 termos, nossa soma parcial será até
(considerando
como o termo de base).
Passo 3
No passo seguinte, calculamos os coeficientes
e
para os primeiros 4 termos. Esses coeficientes determinam a contribuição de cada seno e cosseno na aproximação da função original. Cada termo adicional na soma melhora a aproximação, adicionando mais detalhes ao gráfico.
Passo 4
Agora, somamos os termos calculados:
Essa é a nossa soma parcial com 5 termos. Cada par de
e
adiciona uma oscilação adicional ao gráfico, tornando a aproximação mais precisa da função original.
Resposta
Então, o esboço do gráfico da série de Fourier com 5 termos vai parecer uma onda que se aproxima cada vez mais da forma da função original. Inicialmente, com poucos termos, pode não capturar todos os detalhes, mas com 5 termos já dá uma boa ideia da forma geral. O gráfico vai mostrar oscilações que se aproximam das variações da função que estamos representando.
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Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(a) Mostrar que se denota a soma parcial da série, temos
.
(Lembre que )
$(a) Mostrar que se
(Lembre que
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