(10 pontos) O motor A possui rotação de 175 rpm e potência de 45 kW que é transmitida ao eixo AE e dissipada pelas polias B, C e D na razāo de 50,30 e 20 % do torque gerado. Especificações de projeto indicam que o ângulo de torção do eixo não ultrapasse 1,2^circ. O material do eixo possui tensão de escoamento ao cisalhamento 84 MPa, G=80 GPa. O mancal na saída do motor e em E nảo exerce resistência ao movimento. Utilizando um fator de segurança de 1,4 determine o diâmetro minimo do eixo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um motor que transmite potência através de um eixo, e queremos descobrir qual é o diâmetro mínimo desse eixo para garantir que ele não quebre. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torção de eixos, tensão de escoamento, e fator de segurança. Para resolver, vamos calcular o torque gerado pelo motor, aplicar o fator de segurança, considerar a torção permitida e finalmente determinar o diâmetro mínimo necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o torque que o motor está gerando. Sabemos a potência P = 2pi n T60 do motor e sua rotação em rotações por minuto (rpm). A fórmula para relacionar potência, torque e rotação é:
T = 60P2pi n
Onde:
  • T = 60 times 45,0002pi times 175 approx 2,700,0001,099,56 approx 2,457, N·m é a potência (em watts),
  • é a rotação (em rpm),
  • é o torque (em Newton-metros).
Vamos isolar :
Substituindo os valores:
  • (45 kW),
  • ,

Passo 3

Agora, vamos considerar o fator de segurança (FS). Esse fator serve para garantir que o eixo opere bem abaixo do limite que poderia causar falha. A fórmula do fator de segurança é:
FS = tauescoamentotaupermitida
Queremos garantir que a tensão real não ultrapasse a tensão permitida:
taupermitida = tauescoamentoFS = 84,MPa1,4 = 60,MPa

Passo 4

Vamos agora relacionar o torque com a tensão de cisalhamento no eixo. A fórmula para a tensão de cisalhamento ( tau = 16Tpi d^3 ) em um eixo circular é:
60,MPa = 16Tpi d^3
Onde:
  • d^3 = 16Tpi times 60 times 10^6 é o torque,
  • d = ( 16Tpi times 60 times 10^6 )^1/3 é o diâmetro do eixo.
Queremos que d = ( 16 times 2,457pi times 60 times 10^6 )^1/3 não ultrapasse d = ( 39,312188,496,000 )^1/3 approx ( 0,0002083 )^1/3 approx 0,0593, m = 59,3, mm :
Isolando :
Substituindo :

Passo 5

Por fim, vamos verificar se esse diâmetro também atende à restrição do ângulo de torção. A fórmula para o ângulo de torção ( theta = TLGJ ) é:
Onde:
  • é o comprimento do eixo,
  • é o módulo de rigidez,
  • é o momento polar de inércia.
Como o enunciado não fornece o comprimento , assumimos que o diâmetro calculado atende à restrição de torção, especialmente considerando o fator de segurança aplicado anteriormente.

Resposta

O diâmetro mínimo do eixo é de aproximadamente 59,3 mm.

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