Para que o sistema abaixo esteja em equilíbrio, os ângulos a e b devem obedecer:
sen(a)=2 sen(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um problema de equilíbrio onde temos uma relação entre dois ângulos, $ a $ e $ b $, que deve satisfazer a equação a . Isso está relacionado à trigonometria, especificamente às funções seno, que aparecem bastante quando lidamos com equilíbrio de forças ou em situações envolvendo triângulos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções seno e como elas se comportam com diferentes ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: sin(a) = 2 sin(b). Isso significa que o seno do ângulo $ a $ é o dobro do seno do ângulo $ b $. Nosso objetivo aqui é encontrar uma relação direta entre os ângulos $ a $ e $ b $, ou até mesmo determinar os valores específicos desses ângulos que satisfazem essa equação.

Passo 3

Sabemos que o valor da função seno para qualquer ângulo varia entre -1 e 1. Então, para que sin(a) seja igual a 2 sin(b), precisamos que sin(b) seja um valor que, quando multiplicado por 2, ainda esteja dentro do intervalo permitido para o seno, ou seja, -1 <= 2 sin(b) <= 1. Isso nos dá uma restrição para o valor de sin(b).

Passo 4

Vamos então estabelecer a condição: -1 <= 2 sin(b) <= 1. Dividindo todos os termos por 2 para isolar sin(b), temos: -12 <= sin(b) <= 12. Isso significa que o seno de $ b $ deve estar entre b e -12.

Passo 5

Agora, vamos pensar nos ângulos cujos valores de seno estão dentro desse intervalo. Sabemos que o seno de 30^circ é 0,5 e de 150^circ também é 0,5. Para -12, os ângulos correspondentes são 210^circ e 330^circ no ciclo trigonométrico. Portanto, os possíveis valores para $ b $ são b , 30^circ, 150^circ e 210^circ.

Passo 6

Com esses valores de $ b $, podemos encontrar $ a $ usando a equação b . Vamos calcular para cada caso:
  1. Se $ b = 30^\circ $:
    a
    Portanto, $ a = 90^\circ $.
  2. Se $ b = 150^\circ $:
    sin(a) = 2 sin(b)
    Portanto, $ a = 90^\circ $.
  3. Se $ b = 210^\circ $:
    b = 30^circ
    Portanto, $ a = 270^\circ $.
  4. Se $ b = 330^\circ $:
    sin(a) = 2 times sin(30^circ) = 2 times 0,5 = 1
    Portanto, $ a = 270^\circ $.

Resposta

Os ângulos que satisfazem a condição para equilíbrio são:
  • $ b = 30^\circ $ e $ a = 90^\circ $
  • $ b = 150^\circ $ e $ a = 90^\circ $
  • $ b = 210^\circ $ e $ a = 270^\circ $
  • $ b = 330^\circ $ e $ a = 270^\circ $

Exercícios relacionados