Para que o sistema abaixo esteja em equilíbrio, os ângulos a e b devem obedecer:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um problema de equilíbrio onde temos uma relação entre dois ângulos, $ a $ e $ b $, que deve satisfazer a equação
. Isso está relacionado à trigonometria, especificamente às funções seno, que aparecem bastante quando lidamos com equilíbrio de forças ou em situações envolvendo triângulos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções seno e como elas se comportam com diferentes ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Isso significa que o seno do ângulo $ a $ é o dobro do seno do ângulo $ b $. Nosso objetivo aqui é encontrar uma relação direta entre os ângulos $ a $ e $ b $, ou até mesmo determinar os valores específicos desses ângulos que satisfazem essa equação.
Passo 3
Sabemos que o valor da função seno para qualquer ângulo varia entre -1 e 1. Então, para que
seja igual a
, precisamos que
seja um valor que, quando multiplicado por 2, ainda esteja dentro do intervalo permitido para o seno, ou seja,
. Isso nos dá uma restrição para o valor de
.
Passo 4
Vamos então estabelecer a condição:
. Dividindo todos os termos por 2 para isolar
, temos:
. Isso significa que o seno de $ b $ deve estar entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos pensar nos ângulos cujos valores de seno estão dentro desse intervalo. Sabemos que o seno de
é
e de
também é
. Para
, os ângulos correspondentes são
e
no ciclo trigonométrico. Portanto, os possíveis valores para $ b $ são
,
,
e
.
Passo 6
Com esses valores de $ b $, podemos encontrar $ a $ usando a equação
. Vamos calcular para cada caso:
-
Se $ b = 30^\circ $:
Portanto, $ a = 90^\circ $. -
Se $ b = 150^\circ $:
Portanto, $ a = 90^\circ $. -
Se $ b = 210^\circ $:
Portanto, $ a = 270^\circ $. -
Se $ b = 330^\circ $:
Portanto, $ a = 270^\circ $.
Resposta
Os ângulos que satisfazem a condição para equilíbrio são:
- $ b = 30^\circ $ e $ a = 90^\circ $
- $ b = 150^\circ $ e $ a = 90^\circ $
- $ b = 210^\circ $ e $ a = 270^\circ $
- $ b = 330^\circ $ e $ a = 270^\circ $