(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular
. As funções posição
e
desta partícula se escrevem:
Calcule
e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, ela percorre um círculo com raio
e uma velocidade angular constante
. As funções posição
e
descrevem onde a partícula está em cada instante de tempo
. Nosso objetivo aqui é calcular o produto vetorial entre o vetor posição
e o vetor velocidade
dessa partícula, e mostrar que esse produto vetorial é uma quantidade constante durante todo o movimento.
Passo 2
Vamos começar identificando os vetores posição e velocidade. O vetor posição
é dado pelas funções
e
:
Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Em duas dimensões, o produto vetorial resulta em um escalar (que representa a magnitude da força perpendicular ao plano). A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Sabemos pela identidade trigonométrica que
, então:
Passo 5
Observamos que o resultado
não depende de
nem de
, o que significa que o produto vetorial
é constante durante todo o movimento circular uniforme.
Resposta
O produto vetorial
é constante e igual a
.