(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular omega. As funções posição x(t) e y(t) desta partícula se escrevem:
l x(t)=R cos (omega t+theta0) y(t)=R sin (omega t+theta0)
Calcule r(t) times v(t) e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, ela percorre um círculo com raio R e uma velocidade angular constante omega. As funções posição x(t) e y(t) descrevem onde a partícula está em cada instante de tempo t. Nosso objetivo aqui é calcular o produto vetorial entre o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) dessa partícula, e mostrar que esse produto vetorial é uma quantidade constante durante todo o movimento.

Passo 2

Vamos começar identificando os vetores posição e velocidade. O vetor posição r(t) é dado pelas funções x(t) e y(t):
r(t) = x(t) y(t) = R cos(omega t + theta0) R sin(omega t + theta0)
Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade v(t). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos derivar r(t) em relação a t para encontrar v(t):
v(t) = dr(t)dt = ddt[R cos(omega t + theta0)] ddt[R sin(omega t + theta0)] = -R omega sin(omega t + theta0) R omega cos(omega t + theta0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial r(t) times v(t). Em duas dimensões, o produto vetorial resulta em um escalar (que representa a magnitude da força perpendicular ao plano). A fórmula para o produto vetorial de dois vetores A = (Ax, Ay) e B = (Bx, By) é:
A times B = Ax By - Ay Bx
Aplicando isso aos nossos vetores:
r(t) times v(t) = [R cos(omega t + theta0)] [R omega cos(omega t + theta0)] - [R sin(omega t + theta0)] [-R omega sin(omega t + theta0)]
Simplificando:
r(t) times v(t) = R^2 omega cos^2(omega t + theta0) + R^2 omega sin^2(omega t + theta0)
r(t) times v(t) = R^2 omega (cos^2(omega t + theta0) + sin^2(omega t + theta0))
Sabemos pela identidade trigonométrica que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
r(t) times v(t) = R^2 omega cdot 1 = R^2 omega

Passo 5

Observamos que o resultado R^2 omega não depende de t nem de theta0, o que significa que o produto vetorial r(t) times v(t) é constante durante todo o movimento circular uniforme.

Resposta

O produto vetorial r(t) times v(t) é constante e igual a R^2omega.

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