(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular omega. As funções posição x(t) e y(t) desta partícula se escrevem:
l x(t)=R cos (omega t+theta0) y(t)=R sin (omega t+theta0)
Mostre explicitamente (ou argumente) que r(t) times a(t)=0 para todo tempo t para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um círculo com raio $ R $ e uma velocidade angular $ \omega $. As funções de posição no plano $ x(t) $ e $ y(t) $ são dadas pelas equações paramétricas de um movimento circular uniforme:
R
O objetivo é mostrar que o produto vetorial entre o vetor posição $ \vec{r}(t) $ e o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ é sempre zero, ou seja, $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular vetores posição e aceleração e depois realizar o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor posição $ \vec{r}(t) $ usando as funções dadas:
r(t)
Aqui, $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $ são os vetores unitários nas direções dos eixos $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração $ \vec{a}(t) $. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Primeiro, vamos achar a velocidade $ \vec{v}(t) $ derivando $ \vec{r}(t) $:
a(t)

Passo 4

Em seguida, derivamos a velocidade para obter a aceleração:
a(t) = dv(t)dt = -R omega^2 cos(omega t + theta0) i - R omega^2 sin(omega t + theta0) j
Podemos simplificar isso como:
a(t) = -omega^2 r(t)
Isso mostra que a aceleração está sempre apontando na direção oposta ao vetor posição, o que faz sentido para um movimento circular uniforme, pois a aceleração é centrípeta.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) $. Sabemos que $ \vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}(t) $, então:
r(t) times a(t)
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor consigo mesmo é zero:
a(t) = -omega^2 r(t)
Portanto:
r(t) times a(t) = r(t) times (-omega^2 r(t)) = -omega^2 (r(t) times r(t))

Resposta

Concluímos que $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) = 0 $ para todo tempo $ t $ no movimento circular uniforme.

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