(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular
. As funções posição
e
desta partícula se escrevem:
Mostre explicitamente (ou argumente) que
para todo tempo
para o movimento circular uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em um círculo com raio $ R $ e uma velocidade angular $ \omega $. As funções de posição no plano $ x(t) $ e $ y(t) $ são dadas pelas equações paramétricas de um movimento circular uniforme:
O objetivo é mostrar que o produto vetorial entre o vetor posição $ \vec{r}(t) $ e o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ é sempre zero, ou seja, $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular vetores posição e aceleração e depois realizar o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor posição $ \vec{r}(t) $ usando as funções dadas:
Aqui, $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $ são os vetores unitários nas direções dos eixos $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração $ \vec{a}(t) $. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Primeiro, vamos achar a velocidade $ \vec{v}(t) $ derivando $ \vec{r}(t) $:
Passo 4
Em seguida, derivamos a velocidade para obter a aceleração:
Podemos simplificar isso como:
Isso mostra que a aceleração está sempre apontando na direção oposta ao vetor posição, o que faz sentido para um movimento circular uniforme, pois a aceleração é centrípeta.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) $. Sabemos que $ \vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}(t) $, então:
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor consigo mesmo é zero:
Portanto:
Resposta
Concluímos que $ \vec{r}(t) \times \vec{a}(t) = 0 $ para todo tempo $ t $ no movimento circular uniforme.