questão - No interior de um solenóide de seção reta circular, o campo magnético tem seu módulo determinado por
(Tesla), onde
é o instante de tempo
(em segundos). Se o campo elétrico induzido fora do solenóide tem módulo igual a
a uma distância de
de seu eixo, encontre o raio do solenóide.
A) 0.30 m
B) 77 m
C) 0.94 m
D) 9.0 m
E) 1.0 m
B) 77 m
C) 0.94 m
D) 9.0 m
E) 1.0 m
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um solenóide (uma bobina longa com seção circular) onde o campo magnético dentro dele varia com o tempo segundo a fórmula $ B(t) = 5,0 , t $ (Tesla), sendo $ t $ o tempo em segundos. Fora do solenóide, a um distância de 2,0 metros do eixo, o campo elétrico induzido tem um módulo de $ 1,1 , V/m $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio desse solenóide.
Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico induzido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma área gera um campo elétrico ao redor dessa área. A fórmula da Lei de Faraday é:
Onde:
- $ \mathcal{E} $ é a força eletromotriz induzida,
- $ \Phi_B $ é o fluxo magnético.
No caso do solenóide, o fluxo magnético $ \Phi_B $ é dado por:
Com $ A $ sendo a área da seção transversal do solenóide.
Passo 3
Como o campo elétrico $ E $ está induzido fora do solenóide a uma distância $ r = 2,0 , m $, podemos relacionar a força eletromotriz $ \mathcal{E} $ com o campo elétrico usando a circunferência ao redor do solenóide:
Igualando as duas expressões para $ \mathcal{E} $:
Como estamos interessados apenas no módulo, podemos ignorar o sinal negativo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada do fluxo magnético $ \Phi_B $ em relação ao tempo:
Onde $ R $ é o raio do solenóide que queremos encontrar. Então:
Dado que $ B(t) = 5,0 , t $, temos:
Portanto:
Passo 5
Voltando à equação anterior:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \pi $:
Agora, isolamos $ R^2 $:
Passo 6
Substituindo os valores fornecidos:
Então:
Passo 7
Para encontrar $ R $, tiramos a raiz quadrada de $ 0,44 , m^2 $:
Resposta
O raio do solenóide é aproximadamente 0,66 metros.