10^ a questão - No interior de um solenóide de seção reta circular, o campo magnético tem seu módulo determinado por B(t)=5,0 t (Tesla), onde t é o instante de tempo t (em segundos). Se o campo elétrico induzido fora do solenóide tem módulo igual a 1,1 V / m a uma distância de 2,0 m de seu eixo, encontre o raio do solenóide.
10^-3=9,03
B=5 t
A) 0.30 m
B) 77 m
C) 0.94 m
N B-1,1
D) 9.0 m
E) 1.0 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um solenóide (uma bobina longa com seção circular) onde o campo magnético dentro dele varia com o tempo segundo a fórmula $ B(t) = 5,0 , t $ (Tesla), sendo $ t $ o tempo em segundos. Fora do solenóide, a um distância de 2,0 metros do eixo, o campo elétrico induzido tem um módulo de $ 1,1 , V/m $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio desse solenóide.
Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico induzido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma área gera um campo elétrico ao redor dessa área. A fórmula da Lei de Faraday é:
E = -dfracdPhiBdt
Onde:
  • $ \mathcal{E} $ é a força eletromotriz induzida,
  • $ \Phi_B $ é o fluxo magnético.
No caso do solenóide, o fluxo magnético $ \Phi_B $ é dado por:
E
Com $ A $ sendo a área da seção transversal do solenóide.

Passo 3

Como o campo elétrico $ E $ está induzido fora do solenóide a uma distância $ r = 2,0 , m $, podemos relacionar a força eletromotriz $ \mathcal{E} $ com o campo elétrico usando a circunferência ao redor do solenóide:
E
Igualando as duas expressões para $ \mathcal{E} $:
r = 2,0 , m
Como estamos interessados apenas no módulo, podemos ignorar o sinal negativo:
E

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do fluxo magnético $ \Phi_B $ em relação ao tempo:
PhiB
Onde $ R $ é o raio do solenóide que queremos encontrar. Então:
PhiB = B cdot A = B cdot pi R^2
Dado que $ B(t) = 5,0 , t $, temos:
R
Portanto:
dfracdPhiBdt = dfracdBdt cdot pi R^2

Passo 5

Voltando à equação anterior:
E cdot 2pi r = 5,0 cdot pi R^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \pi $:
pi
Agora, isolamos $ R^2 $:
E cdot 2r = 5,0 cdot R^2

Passo 6

Substituindo os valores fornecidos:
E = 1,1 , V/m, r = 2,0 , m
Então:
R^2 = dfrac1,1 cdot 2,05,0 = dfrac2,25,0 = 0,44 , m^2

Passo 7

Para encontrar $ R $, tiramos a raiz quadrada de $ 0,44 , m^2 $:
R

Resposta

O raio do solenóide é aproximadamente 0,66 metros.

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