De 100 crianças que frequentam uma creche, 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. Vão ser selecionadas ao acaso, e independentemente, 10 crianças para uma atividade especial. Interessa conhecer o número de bebés com menos de 1 ano entre as 10 crianças selecionadas. ( 3 pts)
© Encontre o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
© Encontre o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Tem 100 crianças na creche, sendo que 15 são bebês com menos de 1 ano. Vamos selecionar 10 crianças aleatoriamente para uma atividade especial e queremos saber duas coisas:
- O valor esperado (ou média) de bebês no grupo selecionado.
- O terceiro quartil do número de bebês nesse grupo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição hipergeométrica, que é adequada para situações de seleção sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado. O valor esperado em uma distribuição hipergeométrica é dado por:
Onde:
-
é o número de crianças selecionadas. -
é o número total de bebês na creche. -
é o número total de crianças na creche.
Substituindo os valores:
Então, o valor esperado de bebês no grupo selecionado é 1,5.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o terceiro quartil (Q3) do número de bebês no grupo. O terceiro quartil é o valor abaixo do qual 75% dos dados se encontram. Para isso, precisamos determinar o menor número de bebês
tal que a probabilidade acumulada
seja pelo menos 75%.
Calculando as probabilidades para diferentes valores de
:
- Para
: Calculamos . - Para
: Calculamos .
Sem entrar em contas muito complicadas, percebemos que
já será maior que 75%, então o terceiro quartil é 2.
Resposta
- Valor esperado:
- Terceiro quartil: