(13.80) Uma força de 40,0 N estica uma mola vertical de 0,250 m. (a) Qual é o valor da massa de um bloco que deve ser suspensa da mola para que o sistema oscile com um período igual a 1,0s? (b) Se a amplitude do movimento for igual a 0,050 m e o período for o especificado no item (a), onde estará o bloco e em qual sentido ele estará se movendo 0,35 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo? © Quais são o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre o bloco quando ele está 0,030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve molas e movimento oscilatório. Vamos precisar lembrar de conceitos de força, mola, massa e período de oscilação. Para resolver, vamos usar a Lei de Hooke para a mola e a fórmula do período de um pêndulo ou sistema massa-mola.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar a massa que faz o sistema oscilar com um período de 1,0 segundo.
Primeiro, usando a Lei de Hooke, sabemos que a força exercida pela mola é T = 2pi raizmk , onde m = ( T2pi )^2 cdot k é a constante da mola e m = ( 1,02pi )^2 cdot 160 é a deformação.
Sabemos que m approx ( 0,159 )^2 cdot 160 e m approx 0,0253 cdot 160 .
Então, m approx 4,05 , kg .
Agora, para o período de um sistema massa-mola, temos a fórmula:
Queremos . Vamos rearranjar para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Parte (b): Queremos saber onde o bloco estará e em qual direção estará se movendo 0,35 s após passar pela posição de equilíbrio de cima para baixo, com amplitude de 0,050 m e período de 1,0 s.
Sabemos que o movimento é harmônico simples, onde a posição é dada por:
x(t) = A cos( 2piT t )
Podemos calcular a fase no tempo theta = 2pi1,0 cdot 0,35 = 0,7pi , rad :
x(0,35) = 0,050 cos(0,7pi)
Então,
x(0,35) approx 0,050 cdot cos(126^circ)
x(0,35) approx 0,050 cdot (-0,5878)
x(0,35) approx -0,0294 , m
v(t) = -A 2piT sin( 2piT t )
O sinal negativo indica que o bloco está abaixo da posição de equilíbrio.
Para a direção, a derivada de v(0,35) = -0,050 cdot 2pi cdot sin(0,7pi) nos dá a velocidade:
v(0,35) approx -0,050 cdot 6,283 cdot sin(126^circ)
v(0,35) approx -0,050 cdot 6,283 cdot 0,8090
v(0,35) approx -0,050 cdot 5,087
v(0,35) approx -0,254 , m/s
O sinal negativo indica que o bloco está se movendo para baixo.

Passo 4

Parte ©: Queremos a força resultante quando o bloco está 0,030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima.
A força resultante no sistema massa-mola é a força da mola menos a força da inércia (segunda lei de Newton).
Primeiro, a força da mola:
Fmola = -k cdot x
Fmola = -160 cdot (-0,030) = 4,8 , N
A direção é para cima (porque a mola puxa o bloco de volta ao equilíbrio), e o sentido é positivo.
Então, como o bloco está se movendo para cima, a força resultante é a força da mola mais a força da massa (mas como estamos considerando já a força da mola), a força resultante é apenas a força da mola, que está puxando para cima.

Resposta

(a) A massa necessária é aproximadamente 4,05 kg.
(b) A 0,35 s após passar pelo equilíbrio de cima para baixo, o bloco estará 0,029 m abaixo da posição de equilíbrio e movendo-se para baixo.
© Quando o bloco está 0,030 m abaixo do equilíbrio, a força resultante é de 4,8 N para cima.

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