(13.80) Uma força de
estica uma mola vertical de
. (a) Qual é o valor da massa de um bloco que deve ser suspensa da mola para que o sistema oscile com um período igual a 1,0s? (b) Se a amplitude do movimento for igual a
e o período for o especificado no item (a), onde estará o bloco e em qual sentido ele estará se movendo 0,35 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo? © Quais são o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre o bloco quando ele está
abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve molas e movimento oscilatório. Vamos precisar lembrar de conceitos de força, mola, massa e período de oscilação. Para resolver, vamos usar a Lei de Hooke para a mola e a fórmula do período de um pêndulo ou sistema massa-mola.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a massa que faz o sistema oscilar com um período de 1,0 segundo.
Primeiro, usando a Lei de Hooke, sabemos que a força exercida pela mola é
, onde
é a constante da mola e
é a deformação.
Sabemos que
e
.
Então,
.
Agora, para o período
de um sistema massa-mola, temos a fórmula:
Queremos
. Vamos rearranjar para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Parte (b): Queremos saber onde o bloco estará e em qual direção estará se movendo 0,35 s após passar pela posição de equilíbrio de cima para baixo, com amplitude de 0,050 m e período de 1,0 s.
Sabemos que o movimento é harmônico simples, onde a posição é dada por:
Podemos calcular a fase no tempo
:
Então,
O sinal negativo indica que o bloco está abaixo da posição de equilíbrio.
Para a direção, a derivada de
nos dá a velocidade:
O sinal negativo indica que o bloco está se movendo para baixo.
Passo 4
Parte ©: Queremos a força resultante quando o bloco está 0,030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para cima.
A força resultante no sistema massa-mola é a força da mola menos a força da inércia (segunda lei de Newton).
Primeiro, a força da mola:
A direção é para cima (porque a mola puxa o bloco de volta ao equilíbrio), e o sentido é positivo.
Então, como o bloco está se movendo para cima, a força resultante é a força da mola mais a força da massa (mas como estamos considerando já a força da mola), a força resultante é apenas a força da mola, que está puxando para cima.
Resposta
(a) A massa necessária é aproximadamente 4,05 kg.
(b) A 0,35 s após passar pelo equilíbrio de cima para baixo, o bloco estará 0,029 m abaixo da posição de equilíbrio e movendo-se para baixo.
© Quando o bloco está 0,030 m abaixo do equilíbrio, a força resultante é de 4,8 N para cima.