a) Qual é o deslocamento em
e
?
b) Escreva a equação de uma onda que, quando combinada com a onda descrita acima, produziria ondas estacionárias na corda.
c) Qual o deslocamento da onda resultante em
e t
?
b) Escreva a equação de uma onda que, quando combinada com a onda descrita acima, produziria ondas estacionárias na corda.
c) Qual o deslocamento da onda resultante em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partes aqui relacionadas às ondas em uma corda. Vamos usar conceitos de ondas senoidais, superposição de ondas e ondas estacionárias. Para a primeira parte, precisamos calcular o deslocamento da onda em um ponto específico no espaço e no tempo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação da onda nos diz:
Aqui:
- Amplitude (A): 0,15 metros – é o ponto mais alto que a onda alcança a partir do ponto de equilíbrio.
- Número de onda (k): 0,72 rad/m – relaciona-se com o comprimento de onda.
- Frequência angular (ω): 13 rad/s – está ligada à frequência da onda.
Para encontrar o deslocamento em
e
, vamos substituir esses valores na equação.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação:
Calculando dentro do seno:
-
-
- Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o seno de -0,424 radianos:
Multiplicando pela amplitude:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Precisamos escrever a equação de uma onda que, quando combinada com a onda dada, forme ondas estacionárias na corda. Para isso, vamos lembrar como as ondas estacionárias são formadas.
Passo 6
Ondas estacionárias são criadas pela superposição de duas ondas de mesmo comprimento de onda e frequência, viajando em direções opostas. A segunda onda deve ter a mesma amplitude, número de onda e frequência angular, mas com a direção inversa.
A equação original é:
Para a segunda onda, queremos que ela viaje na direção oposta, então modificamos o sinal.
Passo 7
A equação da segunda onda será:
Passo 8
Finalmente, na terceira parte, precisamos encontrar o deslocamento da onda resultante em
e
. Já que as duas ondas formam uma onda estacionária, vamos usar a fórmula resultante da superposição.
Passo 9
Quando combinamos
e
:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na equação:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
O deslocamento da onda resultante em
e
é aproximadamente -0,145 metros.