y(x, t)=(0,15 m) sen[(0,72 rad / m) cdot x-(13 rad / s) t]
a) Qual é o deslocamento em x=2,3 m e t=0,16 s?
b) Escreva a equação de uma onda que, quando combinada com a onda descrita acima, produziria ondas estacionárias na corda.
c) Qual o deslocamento da onda resultante em x=2,3 m e t =0,16 s?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partes aqui relacionadas às ondas em uma corda. Vamos usar conceitos de ondas senoidais, superposição de ondas e ondas estacionárias. Para a primeira parte, precisamos calcular o deslocamento da onda em um ponto específico no espaço e no tempo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação da onda nos diz:
y(x, t) = (0,15 , m) cdot sin[(0,72 , rad/m) cdot x - (13 , rad/s) cdot t]
Aqui:
  • Amplitude (A): 0,15 metros – é o ponto mais alto que a onda alcança a partir do ponto de equilíbrio.
  • Número de onda (k): 0,72 rad/m – relaciona-se com o comprimento de onda.
  • Frequência angular (ω): 13 rad/s – está ligada à frequência da onda.
Para encontrar o deslocamento em e , vamos substituir esses valores na equação.

Passo 3

Vamos substituir y(2,3, 0,16) = 0,15 cdot sin[(0,72 cdot 2,3) - (13 cdot 0,16)] e na equação:
Calculando dentro do seno:
  1. Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o seno de -0,424 radianos:
sin(-0,424) = -sin(0,424) approx -0,411
Multiplicando pela amplitude:
y(2,3, 0,16) = 0,15 cdot (-0,411) approx -0,0617 , m

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Precisamos escrever a equação de uma onda que, quando combinada com a onda dada, forme ondas estacionárias na corda. Para isso, vamos lembrar como as ondas estacionárias são formadas.

Passo 6

Ondas estacionárias são criadas pela superposição de duas ondas de mesmo comprimento de onda e frequência, viajando em direções opostas. A segunda onda deve ter a mesma amplitude, número de onda e frequência angular, mas com a direção inversa.
A equação original é:
y1(x, t) = 0,15 cdot sin[0,72 cdot x - 13 cdot t]
Para a segunda onda, queremos que ela viaje na direção oposta, então modificamos o sinal.

Passo 7

A equação da segunda onda será:
y2(x, t) = 0,15 cdot sin[0,72 cdot x + 13 cdot t]

Passo 8

Finalmente, na terceira parte, precisamos encontrar o deslocamento da onda resultante em e . Já que as duas ondas formam uma onda estacionária, vamos usar a fórmula resultante da superposição.

Passo 9

Quando combinamos ytotal(x, t) = y1 + y2 = 0,15 cdot sin[0,72x - 13t] + 0,15 cdot sin[0,72x + 13t] e sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2) :
ytotal = 2 cdot 0,15 cdot sin(0,72x) cdot cos(13t)
Usando a identidade trigonométrica:
ytotal = 0,3 cdot sin(0,72x) cdot cos(13t)
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos ytotal(2,3, 0,16) = 0,3 cdot sin(0,72 cdot 2,3) cdot cos(13 cdot 0,16) e ytotal approx 0,3 cdot 0,996 cdot (-0,487) approx -0,145 , m na equação:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:

Resposta

O deslocamento da onda resultante em e é aproximadamente -0,145 metros.

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