v & =160 e^-10 t V, t >= 0^+ i & =6,4 e^-10 t A, t >= 0
Determine
a) R.
b) tau (em milissegundos).
c) L.
d) A energia inicial armazenada no indutor.
e) O tempo (em milissegundos) necessário para dissipar 60 % da energia inicial armazenada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações que descrevem a tensão v(t) & = 160 e^-10 t V, t >= 0^+ i(t) & = 6,4 e^-10 t A, t >= 0 e a corrente em um circuito elétrico:
Nosso objetivo é encontrar:
a) A resistência .
b) A constante de tempo em milissegundos.
c) A indutância .
d) A energia inicial armazenada no indutor.
e) O tempo necessário para dissipar 60% da energia inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RL (Resistor-Indutor) e aplicar algumas fórmulas básicas de eletricidade e magnetismo.

Passo 2

a) Determinar a resistência V = R cdot I .
Primeiro, lembramos da Lei de Ohm, que relaciona a tensão R = v(t)i(t) = 160 e^-10 t6,4 e^-10 t = 1606,4 = 25 Omega , a corrente e a resistência :
Como temos as expressões de e , podemos encontrar dividindo por :

Passo 3

b) Determinar a constante de tempo tau = LR (em milissegundos).
Em um circuito RL, a constante de tempo e^-10 t = e^-t/tau implies 1tau = 10 implies tau = 110 segundos = 100 milissegundos é dada por:
L = tau cdot R = 100 times 10^-3 s times 25 Omega = 2,5 H
Mas ainda não sabemos , então vamos resolver o próximo item primeiro.
c) Determinar a indutância .
Sabemos que a constante de tempo também está relacionada com a expressão exponencial nas funções e :
Agora que temos ms e , podemos encontrar :

Passo 4

b) (Continuação) Determinar a constante de tempo (em milissegundos).
Já calculamos milissegundos no passo anterior.

Passo 5

d) A energia inicial armazenada no indutor.
A energia armazenada em um indutor é dada por:
E = 12 L i^2
No instante inicial ( i(0) = 6,4 A ), a corrente é:
E = 12 times 2,5 H times (6,4)^2 A^2 = 12 times 2,5 times 40,96 = 51,2 J
Substituindo os valores:

Passo 6

e) O tempo necessário para dissipar 60% da energia inicial armazenada.
Queremos encontrar o tempo E(t)E0 = 0,4 = e^-2RL t em que a energia armazenada é 40% da inicial (já que 60% foi dissipada):
0,4 = e^-2ttau implies ln(0,4) = -2ttau implies t = -tau2 ln(0,4)
Usamos a relação t = -100 ms2 ln(0,4) approx -50 ms times (-0,9163) approx 45,815 ms , então:
t approx 45,8 milissegundos
Calculando:
Arredondando:

Resposta

a)
b) milissegundos
c)
d) Energia inicial
e) Tempo para dissipar 60% da energia: aproximadamente milissegundos

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