Se v(t)=160 cos (50 t) Ve i(t)=-20 sen(50 t-30^circ) A, calcule a potência instantânea e a potência média.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações que representam a tensão e a corrente em função do tempo:
v(t) = 160 cos(50 t) V
i(t) = -20 sin(50 t - 30^circ) A
O objetivo é calcular a potência instantânea $ p(t) $ e a potência média $ P_{média} $. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar funções trigonométricas e entender o conceito de potência em circuitos de corrente alternada (AC).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência instantânea. A potência instantânea é o produto da tensão instantânea $ v(t) $ pela corrente instantânea $ i(t) $:
v(t)
Substituindo as fórmulas dadas:
i(t)
Simplificando os coeficientes:
p(t) = v(t) cdot i(t)

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a multiplicar cosseno e seno:
cos A sin B = 12 [ sin(A + B) + sin(B - A) ]
Aplicando essa identidade onde $ A = 50 t $ e $ B = 50 t - 30^{\circ} $:
A = 50 t
Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, então:
B = 50 t - 30^circ

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da potência instantânea:
p(t) = -3200 cdot 12 [ sin(100 t - 30^circ) - sin(30^circ) ]
Simplificando:
p(t) = -1600 sin(100 t - 30^circ) + 1600 sin(30^circ)
Sabemos que $ \sin(30^{\circ}) = 0,5 $, então:
sin(30^circ) = 0,5

Passo 5

Agora, temos a expressão final para a potência instantânea:
p(t) = -1600 sin(100 t - 30^circ) + 800 W
Para encontrar a potência média $ P_{média} $, consideramos que a média de uma função seno ao longo de um ciclo completo é zero. Portanto, a parte com o seno desaparece na média:
Pmédia é

Resposta

A potência instantânea é $ p(t) = -1600 \sin\left(100 t - 30^{\circ}\right) + 800 \ W $ e a potência média é $ P_{média} = 800 \ W $.

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