19 de fevereiro 21:49
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- ( 35 pontos) Duas grandes placas de aço inox, com temperaturas
e
, estão separadas por uma haste de aço inox com de comprimento e
de diâmetro. A haste está soldada em cada placa. 0 espaço entre as placas é preenchido com isolamento, que também isola a circunferência da haste. Em decorrência de uma diferença de tensão elétrica aplicada entre as placas, existe uma corrente elétrica passando através dạ haste, dissipando uma energia elétrica a uma taxa de 15 W . Determine o valor da temperatura máxima da haste. Obs: Considere a haste como uma parede plana, mas com a área de seção transversal de um disco. Utilize a expressão para a temperatura dentro da parede, dada por:
determinando as constantes
a partir das condições de contorno do problema. Considere
e
. Considere para a condutividade térmica da haste o valor de
.
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas placas grandes de aço inox com temperaturas diferentes: uma está a 30°C e a outra a 10°C. Essas placas estão unidas por uma haste de aço inox de 1 metro de comprimento e 5 cm de diâmetro. Além disso, tem uma corrente elétrica passando pela haste, dissipando energia a uma taxa de 15 W. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a temperatura máxima que essa haste pode atingir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e as equações de temperatura dentro de uma parede plana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a haste está conduzindo calor devido à diferença de temperatura entre as placas. A energia elétrica dissipada na haste também gera calor, o que vai afetar a temperatura máxima. A equação que descreve a temperatura
dentro da haste é dada por:
Aqui,
é a condutividade térmica da haste,
é a taxa de dissipação de energia (15 W), e
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições dadas.
Passo 3
Vamos começar identificando os valores que já conhecemos:
- Condutividade térmica,
- Taxa de dissipação de energia,
- Comprimento da haste,
- Temperaturas nas extremidades:
-
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
Para
:
Isso simplifica para:
Para
:
Substituindo
:
Calculando:
Passo 5
Com
e
determinados, a equação da temperatura fica:
Simplificando:
Para encontrar a temperatura máxima, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Como o valor de
não faz sentido ser negativo dentro do intervalo
, isso indica que a temperatura máxima ocorre na extremidade
, que é
.
Resposta
A temperatura máxima da haste é de 30°C.
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