19 de fevereiro 21:49
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  1. ( 35 pontos) Duas grandes placas de aço inox, com temperaturas TS 1=30^circ C e TS 2=10^circ C, estão separadas por uma haste de aço inox com de comprimento e 1,0 m de diâmetro. A haste está soldada em cada placa. 0 espaço entre as placas é preenchido com isolamento, que também isola a circunferência da haste. Em decorrência de uma diferença de tensão elétrica aplicada entre as placas, existe uma corrente elétrica passando através dạ haste, dissipando uma energia elétrica a uma taxa de 15 W . Determine o valor da temperatura máxima da haste. Obs: Considere a haste como uma parede plana, mas com a área de seção transversal de um disco. Utilize a expressão para a temperatura dentro da parede, dada por: 5,0 cm T(x)=-(1 / 2 k)(d rhoF / dt) x^2+ determinando as constantes C1 x+C2 a partir das condições de contorno do problema. Considere C1 e C2 e TS 1 em x=0. Considere para a condutividade térmica da haste o valor de TS 2 em=L.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas placas grandes de aço inox com temperaturas diferentes: uma está a 30°C e a outra a 10°C. Essas placas estão unidas por uma haste de aço inox de 1 metro de comprimento e 5 cm de diâmetro. Além disso, tem uma corrente elétrica passando pela haste, dissipando energia a uma taxa de 15 W. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a temperatura máxima que essa haste pode atingir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e as equações de temperatura dentro de uma parede plana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a haste está conduzindo calor devido à diferença de temperatura entre as placas. A energia elétrica dissipada na haste também gera calor, o que vai afetar a temperatura máxima. A equação que descreve a temperatura T(x) = -12k ( d rhoFdt ) x^2 + C1 x + C2 dentro da haste é dada por:
Aqui, é a condutividade térmica da haste, é a taxa de dissipação de energia (15 W), e e são constantes que precisamos determinar usando as condições dadas.

Passo 3

Vamos começar identificando os valores que já conhecemos:
  • Condutividade térmica,
  • Taxa de dissipação de energia,
  • Comprimento da haste,
  • Temperaturas nas extremidades:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar T(0) = -12k ( d rhoFdt ) (0)^2 + C1 (0) + C2 = TS1 = 30^circC e C2 = 30 .
Para T(L) = -12k ( d rhoFdt ) L^2 + C1 L + C2 = TS2 = 10^circC :
- 12 times 14 times 15 times (1)^2 + C1 times 1 + 30 = 10
Isso simplifica para:
- 1528 + C1 + 30 = 10
Para C1 = 10 - 30 + 1528 = -20 + 1528 approx -19,464 , °C/m :
Substituindo :
Calculando:

Passo 5

Com T(x) = -152 times 14 x^2 - 19,464 x + 30 e T(x) = -1528 x^2 - 19,464 x + 30 determinados, a equação da temperatura fica:
dTdx = -3028 x - 19,464 = 0
Simplificando:
-1514 x = 19,464
Para encontrar a temperatura máxima, derivamos x = -19,464 times 1415 approx -18,176 , m em relação a e igualamos a zero:
Como o valor de não faz sentido ser negativo dentro do intervalo , isso indica que a temperatura máxima ocorre na extremidade , que é .

Resposta

A temperatura máxima da haste é de 30°C.

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