Equação de advecção e difusão:
c) Escreva a solução da equação do item
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a equação de advecção e difusão, que é usada para modelar como uma substância (como poluentes no ar ou no rio) se move e se espalha no espaço ao longo do tempo. Para resolver essa equação, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e métodos para solucionar equações diferenciais parciais. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que descreva a concentração $ C $ da substância em função das posições $ x, y, z $ e do tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nosso trabalho:
Aqui, $ u, v, w $ são as velocidades de advecção nas direções $ x, y, z $, $ D_{x}, D_{y}, D_{z} $ são os coeficientes de difusão, e $ R $ representa a taxa de reação.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos assumir que temos condições de contorno e iniciais bem definidas, o que nos permite aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução $ C $ pode ser escrita como produto de funções que dependem apenas de uma variável cada.
Passo 4
Vamos considerar uma solução estacionária, ou seja, onde a concentração $ C $ não depende do tempo ($ \frac{\partial C}{\partial t} = 0 $). Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, vamos procurar uma solução que satisfaça essa equação. Uma abordagem comum é assumir que a concentração $ C $ varia exponencialmente com as coordenadas espaciais. Por exemplo:
onde $ C_0 $ é a concentração inicial e $ \alpha, \beta, \gamma $ são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Substituindo essa forma de $ C $ na equação simplificada, teremos:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ C $:
Para simplificar, vamos assumir que $ R = 0 $ (sem reação), então:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática nas constantes $ \alpha, \beta, \gamma $. Podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras ou assumir simetria para simplificar. Por exemplo, se $ D_x = D_y = D_z = D $ e $ u = v = w = u $, então podemos resolver para $ \alpha = \beta = \gamma = \frac{u}{2D} $.
Passo 9
Com isso, a solução geral para a concentração $ C $ fica:
Resposta
A solução da equação de advecção e difusão, assumindo condições estacionárias e simetria nas direções espaciais, é:
Exercícios relacionados
Capítulo 3: Cinemática dos fluidos
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano :
e
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração e
), e calcule a aceleração no ponto
.
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração
19 de fevereiro 21:49
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- ( 35 pontos) Duas grandes placas de aço inox, com temperaturas
e , estão separadas por uma haste de aço inox com de comprimento e de diâmetro. A haste está soldada em cada placa. 0 espaço entre as placas é preenchido com isolamento, que também isola a circunferência da haste. Em decorrência de uma diferença de tensão elétrica aplicada entre as placas, existe uma corrente elétrica passando através dạ haste, dissipando uma energia elétrica a uma taxa de 15 W . Determine o valor da temperatura máxima da haste. Obs: Considere a haste como uma parede plana, mas com a área de seção transversal de um disco. Utilize a expressão para a temperatura dentro da parede, dada por: determinando as constantes a partir das condições de contorno do problema. Considere e . Considere para a condutividade térmica da haste o valor de .
Equação de advecção e difusão:
b) Escreva a equação simplificada para uma descarga instantânea num canal estreito e raso, onde se considera somente uma velocidade constante e uniforme na direção x e gradientes de concentração somente na direção longitudinal (direção
) por conta da mistura rápida na vertical e na horizontal. Processos de transformação ou reações podem ser desconsiderados.
a) Descreva, em poucas palavras, o significado de cada termo da equação.