Equação de advecção e difusão:
partial Cpartial t+u partial Cpartial x+v partial Cpartial y+w partial Cpartial z=Dx partial^2 Cpartial x^2+Dy partial^2 Cpartial y^2+Dz partial^2 Cpartial z^2-R
c) Escreva a solução da equação do item

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a equação de advecção e difusão, que é usada para modelar como uma substância (como poluentes no ar ou no rio) se move e se espalha no espaço ao longo do tempo. Para resolver essa equação, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e métodos para solucionar equações diferenciais parciais. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que descreva a concentração $ C $ da substância em função das posições $ x, y, z $ e do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nosso trabalho:
partial Cpartial t + u partial Cpartial x + v partial Cpartial y + w partial Cpartial z = Dx partial^2 Cpartial x^2 + Dy partial^2 Cpartial y^2 + Dz partial^2 Cpartial z^2 - R
Aqui, $ u, v, w $ são as velocidades de advecção nas direções $ x, y, z $, $ D_{x}, D_{y}, D_{z} $ são os coeficientes de difusão, e $ R $ representa a taxa de reação.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir que temos condições de contorno e iniciais bem definidas, o que nos permite aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução $ C $ pode ser escrita como produto de funções que dependem apenas de uma variável cada.

Passo 4

Vamos considerar uma solução estacionária, ou seja, onde a concentração $ C $ não depende do tempo ($ \frac{\partial C}{\partial t} = 0 $). Isso simplifica a equação para:
C

Passo 5

Agora, vamos procurar uma solução que satisfaça essa equação. Uma abordagem comum é assumir que a concentração $ C $ varia exponencialmente com as coordenadas espaciais. Por exemplo:
C
onde $ C_0 $ é a concentração inicial e $ \alpha, \beta, \gamma $ são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Substituindo essa forma de $ C $ na equação simplificada, teremos:
C
Simplificando:
u (-alpha C) + v (-beta C) + w (-gamma C) = Dx (alpha^2 C) + Dy (beta^2 C) + Dz (gamma^2 C) - R

Passo 7

Dividindo ambos os lados por $ C $:
C
Para simplificar, vamos assumir que $ R = 0 $ (sem reação), então:
- u alpha - v beta - w gamma = Dx alpha^2 + Dy beta^2 + Dz gamma^2 - RC

Passo 8

Essa é uma equação quadrática nas constantes $ \alpha, \beta, \gamma $. Podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras ou assumir simetria para simplificar. Por exemplo, se $ D_x = D_y = D_z = D $ e $ u = v = w = u $, então podemos resolver para $ \alpha = \beta = \gamma = \frac{u}{2D} $.

Passo 9

Com isso, a solução geral para a concentração $ C $ fica:
C

Resposta

A solução da equação de advecção e difusão, assumindo condições estacionárias e simetria nas direções espaciais, é:
C(x,y,z) = C0 e^-u2D(x + y + z)

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