9 (a) -1/a^2
(b) y = -1/4 x + 1

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício 9 que tem duas partes. Na parte (a), temos a expressão -1/a^2, e na parte (b), a equação . Vamos precisar entender um pouco de funções matemáticas e como elas se comportam para resolver essas questões.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com -1/a^2. Aqui, temos uma expressão que depende da variável a. Nosso objetivo pode ser analisar como essa função se comporta conforme a varia. Vamos entender o que significa esse termo.

Passo 3

A expressão -1/a^2 é uma função do tipo racional porque é a divisão de dois polinômios. Nesse caso, o numerador é -1 e o denominador é a^2. Essa função está definida para todos os valores de a exceto quando o denominador é zero, ou seja, a != 0.

Passo 4

Vamos analisar o gráfico dessa função. Sabemos que o termo a^2 é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. Então, -1/a^2 sempre será negativo. À medida que a aumenta em valor absoluto, o valor de -1/a^2 se aproxima de zero, mas nunca toca o eixo x. Além disso, há uma assíntota vertical em porque a função não está definida lá.

Passo 5

Resumindo, a função -1/a^2 é uma hipérbole que está sempre abaixo do eixo x, próxima a zero conforme a cresce, e tem uma assíntota vertical em .

Passo 6

Parte (b): Agora, vamos para a equação . Essa é uma equação de uma reta, no formato , onde m é o coeficiente angular (slope) e b é o coeficiente linear (intercepto).

Passo 7

Identificando os componentes:
  • Coeficiente angular : isso indica a inclinação da reta. Como é negativo, a reta desce da esquerda para a direita.
  • Coeficiente linear : significa que a reta corta o eixo y no ponto .

Passo 8

Para desenhar o gráfico, podemos usar dois pontos:
  1. Quando x = 0, (ponto de interseção com o eixo y).
  2. Quando , resolvemos : Então, outro ponto é .

Passo 9

Com esses dois pontos, podemos traçar a reta. Ela começa em e desce até cruzar o eixo x em . A inclinação de -1/4 significa que para cada 4 unidades que avançamos no eixo x, descemos 1 unidade no eixo y.

Resposta

(a) A função -1/a^2 é uma hipérbole que está sempre abaixo do eixo x, próxima a zero conforme a aumenta, e tem uma assíntota vertical em .
(b) A reta tem inclinação negativa de -1/4 e corta o eixo y no ponto , cruzando o eixo x em .

Exercícios relacionados