Se (1+x+x^2)^n=a0+a1 x+cdots+a2 n x^2 n, determine o valor de a0+a1+cdots+a2 n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão que, quando expandida, fica . A questão pede pra gente descobrir a soma de todos esses coeficientes, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar um truque de álgebra com polinômios.

Passo 2

Então, para somar todos os coeficientes de um polinômio, uma boa estratégia é substituir por 1. Por quê? Porque qualquer termo da forma vira simplesmente quando , já que . Isso significa que, ao substituir por 1 na expressão completa, a gente acaba somando todos os .

Passo 3

Vamos aplicar isso na expressão que a gente tem:
(1 + x + x^2)^n
Substituindo (1 + 1 + 1)^n = 3^n por 1:

Resposta

A soma dos coeficientes é .

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