© Determine o coeficiente de no desenvolvimento de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A pergunta pede para encontrar o coeficiente de no desenvolvimento de . Vamos usar o conteúdo do Desenvolvimento Binomial, que nos ajuda a expandir expressões na forma de . Precisaremos aplicar a Fórmula do Binômio de Newton para encontrar o termo que contém .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Fórmula do Binômio de Newton, que diz que:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de elementos tomados a .

Passo 3

No nosso caso, a expressão é . Vamos identificar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula, o termo geral da expansão será:

Passo 5

Simplificando o termo geral:

Passo 6

Queremos o coeficiente de . Então, igualamos o expoente de a 3:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão do termo geral para encontrar o coeficiente:
Sabemos que , então:

Resposta

O coeficiente de no desenvolvimento de é -21.

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(b) Mostre que o número de sequências binárias de comprimento que não possuem dois números zero juntos é dado por e para ;
Se , determine o valor de .
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
Mostre que para todo e que, portanto,