© Determine o coeficiente de x^3 no desenvolvimento de (x^4-1x)^7;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A pergunta pede para encontrar o coeficiente de no desenvolvimento de . Vamos usar o conteúdo do Desenvolvimento Binomial, que nos ajuda a expandir expressões na forma de . Precisaremos aplicar a Fórmula do Binômio de Newton para encontrar o termo que contém .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Fórmula do Binômio de Newton, que diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de elementos tomados a .

Passo 3

No nosso caso, a expressão é . Vamos identificar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula, o termo geral da expansão será:
Tk+1 = binom7k (x^4)^7 - k (-1x)^k

Passo 5

Simplificando o termo geral:
Tk+1 = binom7k x^4(7 - k) (-1)^k x^-k = binom7k (-1)^k x^28 - 4k - k = binom7k (-1)^k x^28 - 5k

Passo 6

Queremos o coeficiente de 28 - 5k = 3 . Então, igualamos o expoente de 28 - 3 = 5k implies 25 = 5k implies k = 5 a 3:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos T6 = binom75 (-1)^5 = binom75 (-1) na expressão do termo geral para encontrar o coeficiente:
T6 = 21 times (-1) = -21
Sabemos que , então:

Resposta

O coeficiente de no desenvolvimento de é -21.

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