© Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A pergunta pede para encontrar o coeficiente de
no desenvolvimento de
. Vamos usar o conteúdo do Desenvolvimento Binomial, que nos ajuda a expandir expressões na forma de
. Precisaremos aplicar a Fórmula do Binômio de Newton para encontrar o termo que contém
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Fórmula do Binômio de Newton, que diz que:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de
elementos tomados
a
.
Passo 3
No nosso caso, a expressão é
. Vamos identificar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula, o termo geral da expansão será:
Passo 5
Simplificando o termo geral:
Passo 6
Queremos o coeficiente de
. Então, igualamos o expoente de
a 3:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão do termo geral para encontrar o coeficiente:
Sabemos que
, então:
Resposta
O coeficiente de
no desenvolvimento de
é -21.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que o número
de sequências binárias de comprimento
que não possuem dois números zero juntos é dado por
e
para
;
Se
, determine o valor de
.
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
(d)
Mostre que
para todo
e que, portanto,