© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação ?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação . Isso significa que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher valores para , e que somem até, no máximo, 21. Para isso, vamos usar um método da combinatória chamado Teorema das Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar essas soluções de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a inequação em uma equação. A ideia é adicionar uma nova variável, digamos , que representa o “espaço restante” até chegar em 21. Assim, a inequação se transforma na equação:
Agora, também precisa ser um número inteiro não negativo ( ).

Passo 3

Agora que temos a equação com todas as variáveis sendo inteiras não negativas, podemos aplicar o Teorema das Estrelas e Barras. Esse teorema nos diz que o número de soluções para essa equação é dado pela combinação:
Aqui, o 21 é o total que queremos alcançar, os 4 são as variáveis , , e , e subtraímos 1 no numerador e no denominador conforme a fórmula do teorema.

Passo 4

Vamos calcular . A combinação é calculada pela fórmula:
Substituindo:

Resposta

Existem 2024 soluções inteiras não negativas para a inequação .

Exercícios relacionados

(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação ?
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
Mostre que calcular e usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo .
Se , determine o valor de .