© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação x+y+z <= 21 ?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação . Isso significa que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher valores para , e que somem até, no máximo, 21. Para isso, vamos usar um método da combinatória chamado Teorema das Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar essas soluções de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a inequação em uma equação. A ideia é adicionar uma nova variável, digamos x + y + z + w = 21 , que representa o “espaço restante” até chegar em 21. Assim, a inequação se transforma na equação:
Agora, também precisa ser um número inteiro não negativo ( ).

Passo 3

Agora que temos a equação binom21 + 4 - 14 - 1 = binom243 com todas as variáveis sendo inteiras não negativas, podemos aplicar o Teorema das Estrelas e Barras. Esse teorema nos diz que o número de soluções para essa equação é dado pela combinação:
Aqui, o 21 é o total que queremos alcançar, os 4 são as variáveis , , e , e subtraímos 1 no numerador e no denominador conforme a fórmula do teorema.

Passo 4

Vamos calcular binomnk = n!k!(n - k)! . A combinação binom243 = 24!3!(24 - 3)! = 24 times 23 times 223 times 2 times 1 = 2024 é calculada pela fórmula:
Substituindo:

Resposta

Existem 2024 soluções inteiras não negativas para a inequação .

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