© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação
?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação
. Isso significa que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher valores para
,
e
que somem até, no máximo, 21. Para isso, vamos usar um método da combinatória chamado Teorema das Estrelas e Barras, que nos ajuda a contar essas soluções de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a inequação em uma equação. A ideia é adicionar uma nova variável, digamos
, que representa o “espaço restante” até chegar em 21. Assim, a inequação
se transforma na equação:
Agora,
também precisa ser um número inteiro não negativo (
).
Passo 3
Agora que temos a equação
com todas as variáveis sendo inteiras não negativas, podemos aplicar o Teorema das Estrelas e Barras. Esse teorema nos diz que o número de soluções para essa equação é dado pela combinação:
Aqui, o 21 é o total que queremos alcançar, os 4 são as variáveis
,
,
e
, e subtraímos 1 no numerador e no denominador conforme a fórmula do teorema.
Passo 4
Vamos calcular
. A combinação
é calculada pela fórmula:
Substituindo:
Resposta
Existem 2024 soluções inteiras não negativas para a inequação
.
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(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação
?
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
(b)
Mostre que calcular
e
usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo
.
Se
, determine o valor de
.