Mostre que calcular
e
usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
e
usando o teorema binomial. Além disso, precisamos generalizar isso para expressões do tipo
, onde
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir potências de binômios de forma prática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
onde
é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações existem para escolher
elementos de um total de
. Isso facilita bastante quando precisamos elevar binômios a potências altas sem precisar multiplicar tantas vezes.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema binomial para calcular
. Primeiro, observamos que podemos escrever 9 como
, então:
Aplicando o teorema binomial:
Agora, vamos calcular cada termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Agora, somamos todos os termos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. De maneira semelhante, podemos escrever 11 como
, então:
Aplicando o teorema binomial:
Calculando cada termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Somando todos os termos:
Portanto,
.
Passo 5
Agora que vimos como calcular
e
usando o teorema binomial, vamos generalizar para expressões da forma
.
Considerando
, podemos aplicar o teorema binomial:
Isso significa que para qualquer potência
, podemos expandir
somando os termos que envolvem combinações de
e
elevados às respectivas potências, facilitando assim o cálculo sem precisar multiplicar repetidamente.
Resposta
Usando o teorema binomial, calculamos que
e
. Além disso, para expressões gerais do tipo
, temos a fórmula: