Mostre que calcular 9^4 e 11^5 usando o teorema binomial é moleza. Generalize esses casos e encontre uma fórmula para expressões do tipo (n pm 1)^k, n >= 1, k >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular e usando o teorema binomial. Além disso, precisamos generalizar isso para expressões do tipo , onde e . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir potências de binômios de forma prática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
(a + b)^k = sumi=0^k binomki a^k-i b^i
onde é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações existem para escolher elementos de um total de . Isso facilita bastante quando precisamos elevar binômios a potências altas sem precisar multiplicar tantas vezes.

Passo 3

Vamos aplicar o teorema binomial para calcular 9^4 = (10 - 1)^4 . Primeiro, observamos que podemos escrever 9 como (10 - 1)^4 = sumi=0^4 binom4i 10^4-i (-1)^i , então:
binom40 cdot 10^4 cdot (-1)^0 = 1 cdot 10000 cdot 1 = 10000
Aplicando o teorema binomial:
binom41 cdot 10^3 cdot (-1)^1 = 4 cdot 1000 cdot (-1) = -4000
Agora, vamos calcular cada termo:
  • Para binom42 cdot 10^2 cdot (-1)^2 = 6 cdot 100 cdot 1 = 600 :
    binom43 cdot 10^1 cdot (-1)^3 = 4 cdot 10 cdot (-1) = -40
  • Para binom44 cdot 10^0 cdot (-1)^4 = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 :
    10000 - 4000 + 600 - 40 + 1 = 6561
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, somamos todos os termos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular 11^5 = (10 + 1)^5 . De maneira semelhante, podemos escrever 11 como (10 + 1)^5 = sumi=0^5 binom5i 10^5-i 1^i , então:
binom50 cdot 10^5 cdot 1^0 = 1 cdot 100000 cdot 1 = 100000
Aplicando o teorema binomial:
binom51 cdot 10^4 cdot 1^1 = 5 cdot 10000 cdot 1 = 50000
Calculando cada termo:
  • Para binom52 cdot 10^3 cdot 1^2 = 10 cdot 1000 cdot 1 = 10000 :
    binom53 cdot 10^2 cdot 1^3 = 10 cdot 100 cdot 1 = 1000
  • Para binom54 cdot 10^1 cdot 1^4 = 5 cdot 10 cdot 1 = 50 :
    binom55 cdot 10^0 cdot 1^5 = 1 cdot 1 cdot 1 = 1
  • Para 100000 + 50000 + 10000 + 1000 + 50 + 1 = 161051 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Somando todos os termos:
Portanto, .

Passo 5

Agora que vimos como calcular (n pm 1)^k = sumi=0^k binomki n^k-i (pm1)^i e usando o teorema binomial, vamos generalizar para expressões da forma .
Considerando , podemos aplicar o teorema binomial:
Isso significa que para qualquer potência , podemos expandir somando os termos que envolvem combinações de e elevados às respectivas potências, facilitando assim o cálculo sem precisar multiplicar repetidamente.

Resposta

Usando o teorema binomial, calculamos que (n pm 1)^k = sumi=0^k binomki n^k-i (pm1)^i e . Além disso, para expressões gerais do tipo , temos a fórmula:

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