[2,0] Um cilindro solido de massa
e raio
gira em torno de seu eixo central. Nessa situação, o momento de inércia desse cilindro é dado por
. Se esse cilindro girasse em torno de um eixo paralelo ao eixo central mas localizado a uma distancia
desse eixo, qual seria o valor numérico do seu momento de inércia? [Dica: Não esqueça a unidade.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro sólido com massa de 3 kg e raio de 0,3 m que gira em torno do seu eixo central. Sabemos que o momento de inércia nesse caso é $ I = \frac{1}{2} m R^2 $. Mas agora, o desafio é descobrir qual seria o momento de inércia desse cilindro se ele girasse em torno de um eixo paralelo ao central, mas a uma distância igual ao raio $ R $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Eixo Paralelo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece para mudar seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar ou parar.
Passo 3
O Teorema do Eixo Paralelo nos ajuda a calcular o momento de inércia quando trocamos o eixo de rotação para um paralelo ao eixo original, mas deslocado a uma distância $ d $. A fórmula é:
onde:
- $ I_{paralelo} $ é o momento de inércia no novo eixo,
- $ I_{centro} $ é o momento de inércia no eixo original (central),
- $ m $ é a massa do cilindro,
- $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Sabemos que:
- $ m = 3 , kg $,
- $ R = 0,3 , m $,
- $ I_{centro} = \frac{1}{2} m R^2 $.
Vamos calcular $ I_{centro} $:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Eixo Paralelo com $ d = R = 0,3 , m $:
Calculando $ m R^2 $:
Então:
Resposta
O momento de inércia do cilindro em relação ao novo eixo é de 0,405 kg·m².