Problem 7.16 An alternating current I(t)=I0 cos w t flows down a long straight wire, and returns along a coaxial conducting tube of radius a.
a) In what direction does the induced electric field point (radial, circumferential, or longitudinal)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma corrente alternada $ I(t) = I_0 \cos(\omega t) $ que corre por um fio longo e reto, e retorna por um tubo condutor coaxial de raio $ a $. A pergunta é: Em que direção o campo elétrico induzido aponta? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o campo elétrico induzido. Quando temos uma corrente que varia no tempo, ela gera um campo magnético que também varia. De acordo com a Lei de Faraday, uma variação do campo magnético no tempo induz um campo elétrico. A fórmula da Lei de Faraday é:
nabla times E = -partial Bpartial t
Isso nos diz que a variação do campo magnético gera um campo elétrico que forma laços fechados.

Passo 3

No nosso caso, a corrente está fluindo por um fio central e retornando por um tubo ao redor (coaxial). O campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por essa configuração em torno do fio é circunferencial, ou seja, forma círculos ao redor do fio.

Passo 4

Como a corrente está alternando (aumenta e diminui com o tempo), o campo magnético também está mudando no tempo. Essa variação do campo magnético induz um campo elétrico. Pela Lei de Faraday, o campo elétrico induzido $ \mathbf{E} $ deve estar orientado de forma a criar um laço fechado que contraria a mudança no campo magnético (Lei de Lenz).

Passo 5

Pensando na geometria do problema, o campo elétrico induzido não pode ser circunferencial, porque isso criaria uma espécie de “corrente” não fechada no espaço. Ele também não pode ser longitudinal (paralelo ao fio), porque isso não interagiria com o campo magnético ao redor.

Passo 6

Portanto, a única direção restante para o campo elétrico induzido é radial, ou seja, apontando para dentro ou para fora em relação ao fio central. Esse campo radial forma círculos concêntricos com o fio, fechando o laço necessário para satisfazer a Lei de Faraday.

Resposta

O campo elétrico induzido aponta na direção radial.

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