2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Esse problema está no ramo das equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa. Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, construímos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica. Vamos tentar encontrar fatores inteiros. Testando :
Portanto, é uma raiz. Podemos fatorar da equação:

Passo 4

Vamos agora resolver o polinômio cúbico . Testando :
Tentando :
Então, é outra raiz. Fatoramos :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, as raízes da equação característica são:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
O lado direito é composto por duas funções: e . Vamos encontrar uma solução particular para cada parte e somá-las.

Passo 8

Primeiro, para , assumimos uma solução da forma:
Derivamos e substituímos na equação para encontrar e .

Passo 9

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Igualando os coeficientes:
Então,

Passo 10

Agora, para , assumimos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,

Passo 11

A solução particular completa é a soma das duas partes:

Passo 12

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes :
Calculamos as derivadas de e substituímos para obter um sistema de equações que resolveremos para encontrar as constantes.

Passo 14

Após resolver o sistema de equações obtido das condições iniciais, encontramos os valores das constantes:
(Substituir “…” com os valores encontrados através das equações.)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde as constantes são determinadas pelas condições iniciais fornecidas.

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©
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