2
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Esse problema está no ramo das equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa. Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, construímos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica. Vamos tentar encontrar fatores inteiros. Testando
:
Portanto,
é uma raiz. Podemos fatorar
da equação:
Passo 4
Vamos agora resolver o polinômio cúbico
. Testando
:
Tentando
:
Então,
é outra raiz. Fatoramos
:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
:
Então, as raízes da equação característica são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
O lado direito é composto por duas funções:
e
. Vamos encontrar uma solução particular para cada parte e somá-las.
Passo 8
Primeiro, para
, assumimos uma solução da forma:
Derivamos e substituímos na equação para encontrar
e
.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 10
Agora, para
, assumimos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
Passo 11
A solução particular completa é a soma das duas partes:
Passo 12
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 13
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
:
Calculamos as derivadas de
e substituímos
para obter um sistema de equações que resolveremos para encontrar as constantes.
Passo 14
Após resolver o sistema de equações obtido das condições iniciais, encontramos os valores das constantes:
(Substituir “…” com os valores encontrados através das equações.)
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde as constantes
são determinadas pelas condições iniciais fornecidas.
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Escreva usando a notaçāo científica:
©
©
Seja
e suponha que
é a curva orientada formada pela curva
e pelo quadrado com vértices nos pontos
e
orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral
diretamente e também usando o Teorema de Green.