Calcule o valor da integral imprópria
ou mostre que a integral diverge.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral imprópria
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, como o limite superior da integral é
, a integral é imprópria. Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Veja que
cancela, deixando a integral mais simples.
Passo 5
Agora, a integral ficou:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Agora temos a antiderivada da função original.
Passo 7
Como a integral é imprópria, precisamos avaliar o limite quando
tende a
. Assim, a integral definida é:
Passo 8
Calculamos os limites:
- Para
, quando , , então . - Para
:
Passo 9
Subtraímos os limites:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
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