Calcule o valor da integral imprópria
integral1^+infty x^2(x^3+2)^2 d x
ou mostre que a integral diverge.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral imprópria
integral1^+infty x^2(x^3+2)^2 dx
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral e analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, como o limite superior da integral é u = x^3 + 2 , a integral é imprópria. Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 em relação a dx = du3x^2 :
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral x^2(x^3+2)^2 dx = integral x^2u^2 cdot du3x^2 = 13 integral 1u^2 du e na integral original:
Veja que cancela, deixando a integral mais simples.

Passo 5

Agora, a integral ficou:
13 integral u^-2 du
Sabemos que a integral de 13 integral u^-2 du = 13 ( -1u ) + C = -13u + C, em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo -13(x^3 + 2) + C :
Agora temos a antiderivada da função original.

Passo 7

Como a integral é imprópria, precisamos avaliar o limite quando limb to +infty [ -13(x^3 + 2) ]1^b tende a . Assim, a integral definida é:

Passo 8

Calculamos os limites:
  • Para -13(1^3 + 2) = -19 , quando , , então .
  • Para :

Passo 9

Subtraímos os limites:
0 - ( -19 ) = 19

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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