Calcule o valor da integral imprópria
ou mostre que a integral diverge.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral imprópria
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral e analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, como o limite superior da integral é , a integral é imprópria. Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Veja que cancela, deixando a integral mais simples.

Passo 5

Agora, a integral ficou:
Sabemos que a integral de em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo :
Agora temos a antiderivada da função original.

Passo 7

Como a integral é imprópria, precisamos avaliar o limite quando tende a . Assim, a integral definida é:

Passo 8

Calculamos os limites:
  • Para , quando , , então .
  • Para :

Passo 9

Subtraímos os limites:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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