[2 pt] Resolva o sistema abaixo
x+z+2 w & =0 x+2 y+z+w & =1 x+2 w & =8 x+2 z+w & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição ou eliminação. Nosso objetivo é encontrar os valores de todas essas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos começar observando a terceira equação:
x + 2w = 8
Essa equação é mais simples e já relaciona x = 8 - 2w e . Podemos isolar nela para facilitar:
Isso nos dá uma expressão para em termos de , que vamos usar nas outras equações.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de x + z + 2w = 0 na primeira equação:
(8 - 2w) + z + 2w = 0
Substituindo 8 + z = 0 implies z = -8 :
Simplificando:
Pronto! Encontramos o valor de .

Passo 4

Com x + 2z + w = 0 e (8 - 2w) + 2(-8) + w = 0 , vamos para a quarta equação:
8 - 2w - 16 + w = 0 implies -8 - w = 0 implies w = -8
Substituindo e :
Simplificando:
Agora sabemos que .

Passo 5

Com x = 8 - 2w = 8 - 2(-8) = 8 + 16 = 24 , podemos encontrar usando a expressão que obtivemos no Passo 2:
Então, .

Passo 6

Finalmente, vamos usar a segunda equação para encontrar x + 2y + z + w = 1 :
24 + 2y - 8 - 8 = 1
Substituindo 24 - 16 + 2y = 1 implies 8 + 2y = 1 implies 2y = -7 implies y = -72 , e :
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 24, y = -72, z = -8, w = -8

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