3- (20) Um escoamento em um canal de um metro de altura possui velocidade máxima 1 / 1000 da velocidade máxima para o escoamento incompressível. Sabendo que a velocidade do som na água é 1.450 m / s. Determine a tensão de cisalhamento em 0,5 metros de altura e 1 metro de altura, sabendo que a viscosidade cinemática é 1,004 times 10^-6 m^2 / s. Use a massa especifica padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um escoamento em um canal de 1 metro de altura, onde a velocidade máxima é 1/1000 da velocidade máxima para um escoamento incompressível. Queremos descobrir a tensão de cisalhamento em alturas de 0,5 metros e 1 metro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à viscosidade e ao perfil de velocidade em um escoamento laminar. Vamos precisar também das fórmulas que relacionam tensão de cisalhamento, viscosidade cinemática e gradiente de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento ( tau) em um fluido é dada por:
tau = mu dudy
Onde:
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • dudy é o gradiente de velocidade na direção perpendicular ao fluxo.
Mas, como temos a viscosidade cinemática ( nu) no enunciado, lembramos que:
nu = murho
Assim, podemos reescrever a tensão de cisalhamento em termos da viscosidade cinemática:
tau = nu rho dudy

Passo 3

Agora, precisamos determinar o gradiente de velocidade dudy. Para um escoamento laminar entre duas placas paralelas (ou em um canal), o perfil de velocidade é linear, ou seja, a velocidade varia de 0 na parede até a velocidade máxima no centro.
Dado que a altura total do canal é de 1 metro e a velocidade máxima ocorre no centro (0,5 metros de altura), podemos assumir que o perfil de velocidade é linear:
u(y) = UmaxH y
Onde:
  • Umax é a velocidade máxima.
  • H é a altura total do canal.
  • y é a altura a partir da parede.
Derivando essa função em relação a y, temos:
dudy = UmaxH

Passo 4

Sabemos que a velocidade máxima do nosso escoamento é U = 11000 Umax incompressívelí. Porém, para escoamentos incompressíveis, U = Umax incompressívelí. Então, podemos reescrever:
U = 11000 U
Isso implica que a velocidade máxima no nosso caso é U = Umax incompressível1000í.

Passo 5

Agora, precisamos determinar Umax incompressívelí. Sabendo que a velocidade do som na água é c = 1450 , m/s, e para escoamentos incompressíveis, a velocidade máxima está relacionada pela condição de Mach, que para incompressibilidade é Mach < 0.3. Contudo, no nosso caso, como o enunciado já fornece a relação entre as velocidades, podemos focar diretamente na relação da tensão de cisalhamento.

Passo 6

Vamos usar os valores fornecidos:
  • Viscosidade cinemática: nu = 1,004 times 10^-6 , m^2/s
  • Massa específica padrão da água: rho = 1000 , kg/m^3
Então, a expressão para a tensão de cisalhamento fica:
tau = nu rho UH

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula. Primeiro, para y = 0,5 , m:
tau0,5 = 1,004 times 10^-6 times 1000 times U1
Simplificando:
tau0,5 = 1,004 times 10^-3 times U

Passo 8

Da mesma forma, para y = 1 , m:
tau1 = 1,004 times 10^-6 times 1000 times U1
Simplificando:
tau1 = 1,004 times 10^-3 times U

Passo 9

Como a relação da velocidade máxima foi dada como U = 11000 Umax incompressívelí, mas sem um valor numérico específico para U, assumimos que Umax incompressívelí é a velocidade do som na água, c = 1450 , m/s. Então,
U = 11000 times 1450 = 1,45 , m/s

Passo 10

Agora, substituímos U = 1,45 , m/s nas expressões das tensões:
Para y = 0,5 , m:
tau0,5 = 1,004 times 10^-3 times 1,45 = 1,458 times 10^-3 , Pa
Para y = 1 , m:
tau1 = 1,004 times 10^-3 times 1,45 = 1,458 times 10^-3 , Pa

Resposta

A tensão de cisalhamento é de aproximadamente 1,458 times 10^-3 , Pa tanto em 0,5 metros quanto em 1 metro de altura.

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