3- (20) Um escoamento em um canal de um metro de altura possui velocidade máxima
da velocidade máxima para o escoamento incompressível. Sabendo que a velocidade do som na água é
. Determine a tensão de cisalhamento em 0,5 metros de altura e 1 metro de altura, sabendo que a viscosidade cinemática é
. Use a massa especifica padrão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um escoamento em um canal de 1 metro de altura, onde a velocidade máxima é 1/1000 da velocidade máxima para um escoamento incompressível. Queremos descobrir a tensão de cisalhamento em alturas de 0,5 metros e 1 metro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à viscosidade e ao perfil de velocidade em um escoamento laminar. Vamos precisar também das fórmulas que relacionam tensão de cisalhamento, viscosidade cinemática e gradiente de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento (
) em um fluido é dada por:
Onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é o gradiente de velocidade na direção perpendicular ao fluxo.
Mas, como temos a viscosidade cinemática (
) no enunciado, lembramos que:
Assim, podemos reescrever a tensão de cisalhamento em termos da viscosidade cinemática:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o gradiente de velocidade
. Para um escoamento laminar entre duas placas paralelas (ou em um canal), o perfil de velocidade é linear, ou seja, a velocidade varia de 0 na parede até a velocidade máxima no centro.
Dado que a altura total do canal é de 1 metro e a velocidade máxima ocorre no centro (0,5 metros de altura), podemos assumir que o perfil de velocidade é linear:
Onde:
-
é a velocidade máxima. -
é a altura total do canal. -
é a altura a partir da parede.
Derivando essa função em relação a
, temos:
Passo 4
Sabemos que a velocidade máxima do nosso escoamento é
. Porém, para escoamentos incompressíveis,
. Então, podemos reescrever:
Isso implica que a velocidade máxima no nosso caso é
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar
. Sabendo que a velocidade do som na água é
, e para escoamentos incompressíveis, a velocidade máxima está relacionada pela condição de Mach, que para incompressibilidade é
. Contudo, no nosso caso, como o enunciado já fornece a relação entre as velocidades, podemos focar diretamente na relação da tensão de cisalhamento.
Passo 6
Vamos usar os valores fornecidos:
- Viscosidade cinemática:
- Massa específica padrão da água:
Então, a expressão para a tensão de cisalhamento fica:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula. Primeiro, para
:
Simplificando:
Passo 8
Da mesma forma, para
:
Simplificando:
Passo 9
Como a relação da velocidade máxima foi dada como
, mas sem um valor numérico específico para
, assumimos que
é a velocidade do som na água,
. Então,
Passo 10
Agora, substituímos
nas expressões das tensões:
Para
:
Para
:
Resposta
A tensão de cisalhamento é de aproximadamente
tanto em 0,5 metros quanto em 1 metro de altura.
Exercícios relacionados
1 - (10 P) Escreva a equação de Bernoulli destacando cada unidade das variáveis da equação sabendo que a pressão é dada em lbf/pol².
2- (10)Explique o motivo pelo qual a definição de massa especifica possui o limite tende
e não tende a
.
Um canal de seção retangular deve operar com uma lâmina de
. Sabendo-se que
declividade de 10 cm por km , estimar a vazão transportada e a velocídade de escoamento. Dado: base de 3 m
Uma tubulação de recalque deve transportar uma vazão de
, e funcionar 24 horas/ dia. Pede-se: Dimensione essa tubulação (trechos de sucção e de recalque. Adote
);