(2016-2) Seja f: R R uma fun, c^sim ao tal que lim x 0 f(x) x=0. Podemos afirmar que lim x 1 f(x 2-1) x-1 vale:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é contínua em certo ponto, e sabemos que quando se aproxima de 0, o limite de é 0. O exercício pede para a gente descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento da função x^2 - 1 = (1)^2 - 1 = 0 quando se aproxima de 1. Se , então:
Então, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Isso significa que estamos olhando para o comportamento de perto de 0.

Passo 3

Sabemos que limx to 0 f(x) = limx to 0 0x = 0 . Podemos reescrever isso como:
Isso nos diz que tende a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos voltar ao limite que queremos encontrar:
limx to 1 f(x^2 - 1)x - 1
Como vimos no Passo 2, quando . Então, podemos usar a substituição , onde quando .

Passo 5

Expressamos t = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) implies x - 1 = tx + 1 em termos de limt to 0 f(t)tx + 1 = limt to 0 f(t) cdot (x + 1)t :
Agora, substituímos na expressão do limite:

Passo 6

Sabemos que limt to 0 f(t) cdot (x + 1)t = (x + 1) cdot limt to 0 f(t)t = 2 cdot 0 = 0 , então . Também sabemos que (do Passo 3). Então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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