Se P(A)=23 e P(B)=49, mostre que:
29 <= P(A cap barB) <= 59.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as probabilidades de dois eventos, $ P(A) = \frac{2}{3} $ e $ P(B) = \frac{4}{9} $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de acontecer o evento $ A $ e não acontecer o evento $ B $, que é $ P(A \cap \overline{B}) $, está entre $ \frac{2}{9} $ e $ \frac{5}{9} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a probabilidade de interseção entre eventos e propriedades das probabilidades complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade do evento $ A $ acontecer e o evento $ B $ não acontecer é dada por:
A
Isso acontece porque $ P(A) $ inclui todas as situações onde $ A $ ocorre, tanto com $ B $ ocorrendo quanto sem. Então, se subtrairmos a parte onde os dois acontecem juntos ($ P(A \cap B) $), sobra justamente a parte onde só $ A $ acontece.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites para $ P(A \cap B) $ para poder estabelecer os limites para $ P(A \cap \overline{B}) $. Sabemos que:
P(A cap B)
Isso porque a interseção de $ A $ e $ B $ não pode ser maior que a probabilidade de $ B $ sozinho. Além disso, também temos:
P(A cap B)
Essa é a fórmula do princípio da inclusão-exclusão, que nos dá o limite inferior para a interseção de dois eventos.

Passo 4

Vamos calcular esses limites:
  1. Limite superior para $ P(A \cap B) $:
P(A cap B)
  1. Limite inferior para $ P(A \cap B) $:
P(A cap B) <= P(B) = 49

Passo 5

Agora que temos os limites para $ P(A \cap B) $, podemos usar a relação que vimos no Passo 2 para encontrar os limites de $ P(A \cap \overline{B}) $:
P(A cap B)
  1. Quando $ P(A \cap B) $ é máximo ($ \frac{4}{9} $):
P(A cap B)
  1. Quando $ P(A \cap B) $ é mínimo ($ \frac{1}{9} $):
P(A cap B) = P(A) - P(A cap B)

Resposta

Portanto, demonstramos que:
29 <= P(A cap B) <= 59

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