e
, mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as probabilidades de dois eventos, $ P(A) = \frac{2}{3} $ e $ P(B) = \frac{4}{9} $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de acontecer o evento $ A $ e não acontecer o evento $ B $, que é $ P(A \cap \overline{B}) $, está entre $ \frac{2}{9} $ e $ \frac{5}{9} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a probabilidade de interseção entre eventos e propriedades das probabilidades complementares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade do evento $ A $ acontecer e o evento $ B $ não acontecer é dada por:
Isso acontece porque $ P(A) $ inclui todas as situações onde $ A $ ocorre, tanto com $ B $ ocorrendo quanto sem. Então, se subtrairmos a parte onde os dois acontecem juntos ($ P(A \cap B) $), sobra justamente a parte onde só $ A $ acontece.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites para $ P(A \cap B) $ para poder estabelecer os limites para $ P(A \cap \overline{B}) $. Sabemos que:
Isso porque a interseção de $ A $ e $ B $ não pode ser maior que a probabilidade de $ B $ sozinho. Além disso, também temos:
Essa é a fórmula do princípio da inclusão-exclusão, que nos dá o limite inferior para a interseção de dois eventos.
Passo 4
Vamos calcular esses limites:
- Limite superior para $ P(A \cap B) $:
- Limite inferior para $ P(A \cap B) $:
Passo 5
Agora que temos os limites para $ P(A \cap B) $, podemos usar a relação que vimos no Passo 2 para encontrar os limites de $ P(A \cap \overline{B}) $:
- Quando $ P(A \cap B) $ é máximo ($ \frac{4}{9} $):
- Quando $ P(A \cap B) $ é mínimo ($ \frac{1}{9} $):
Resposta
Portanto, demonstramos que: