1. x^2 + 2xy - 4y^2 = 12,
    (elipse)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação que representa uma conica. A matéria que vamos usar aqui é sobre elipses e como colocar a equação dela na forma padrão. Para resolver, precisamos eliminar o termo cruzado usando uma rotação dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ângulo de rotação que vai eliminar o termo . A fórmula para o ângulo é:
Aqui, , e . Então:
Agora, calculamos :

Passo 3

Com o ângulo , usamos as transformações de coordenadas:
Vamos substituir esses em nossa equação original para eliminar o termo .

Passo 4

Após a substituição e simplificação (que envolve cálculos trigonometricos), a equação fica na forma:
Onde e são novos coeficientes após a rotação, sem o termo cruzado.

Passo 5

Para colocar na forma padrão da elipse, dividimos ambos os lados por 12:
Assim, identificamos os valores de e que representam os eixos da elipse.

Resposta

A equação representa uma elipse cuja forma padrão, após rotação dos eixos, é:
com e determinados a partir dos coeficientes após a rotação.

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25-32 Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
  1. xy = raiz(x^2 + y^2)
187
  1. e^(x / y) = x - y