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.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pela fórmula de recursão:
Aqui, estamos lidando com o método de Newton-Raphson, que é usado para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. No nosso caso, a função é
. Vamos precisar entender como esse método funciona para resolver a sequência.
Passo 2
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de uma equação
. A fórmula geral é:
No nosso exercício, a função é
. Vamos calcular a derivada dessa função:
Substituindo
e
na fórmula de Newton-Raphson, obtemos:
Que é exatamente a fórmula dada no exercício.
Passo 3
O objetivo aqui é encontrar o valor para o qual a sequência
converge. Isso significa que, conforme
aumenta,
se aproxima de um valor fixo, que chamaremos de
. Matemáticamente, isso é:
Para encontrar
, assumimos que
e
se aproximam de
quando
tende ao infinito. Então, substituímos
e
por
na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Então:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A sequência converge para
.