1. x_{k+1} = x_{k} - (x_{k}^{2} - 2) / (2 * x_{k}), x_{0} = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pela fórmula de recursão:
Aqui, estamos lidando com o método de Newton-Raphson, que é usado para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. No nosso caso, a função é . Vamos precisar entender como esse método funciona para resolver a sequência.

Passo 2

O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de uma equação . A fórmula geral é:
No nosso exercício, a função é . Vamos calcular a derivada dessa função:
Substituindo e na fórmula de Newton-Raphson, obtemos:
Que é exatamente a fórmula dada no exercício.

Passo 3

O objetivo aqui é encontrar o valor para o qual a sequência converge. Isso significa que, conforme aumenta, se aproxima de um valor fixo, que chamaremos de . Matemáticamente, isso é:
Para encontrar , assumimos que e se aproximam de quando tende ao infinito. Então, substituímos e por na fórmula:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Então:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A sequência converge para .

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