3.29 In elementary compressible-flow theory <br> (Chap. 9), compressed air will exhaust from a <br> small hole in a tank at the mass flow rate <br> dotm approx C rho, where rho is the air density in the tank <br> e C é uma constante. If rhoo is the initial density in <br> a tank of volume v, derive a formula for the density change rho(t) after the hole is opened. <br> Apply your formula to the following case: a <br> spherical tank of diameter 50 cm, with initial <br> pressure 300 kPa and temperature 100^circ C, and a hole whose initial exhaust rate is 0.01 kg / s. <br> Find the time required for the tank density to drop by 50 percent.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente está lidando com teoria de fluxo compressível. A situação envolve ar comprimido saindo de um tanque por um pequeno orifício. A taxa de fluxo de massa, ou seja, quanta massa de ar sai por segundo, é dada por , onde é a densidade do ar no tanque e é uma constante.
Precisamos derivar uma fórmula para a mudança na densidade após o orifício ser aberto e, depois, aplicar essa fórmula a um caso específico para determinar quanto tempo leva para a densidade do tanque cair pela metade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a taxa de fluxo de massa e a densidade. A taxa de fluxo de massa dotm = C rho é a quantidade de massa que sai do tanque por unidade de tempo. Segundo a equação dada:
Isso significa que a taxa com que a massa está saindo depende diretamente da densidade do ar no tanque.

Passo 3

Sabemos que a massa total de ar no tanque é igual à densidade vezes o volume do tanque:
m = rho cdot v
Onde:
  • é a massa do ar,
  • é a densidade,
  • é o volume do tanque.

Passo 4

Como a massa está diminuindo com o tempo devido ao fluxo de saída, podemos relacionar a taxa de mudança da massa com o tempo:
dmdt = -dotm
Substituindo dmdt = -C rho pela expressão em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos d(rho v)dt = -C rho por v drhodt = -C rho na equação acima:
Como o volume é constante (o tanque não está mudando de tamanho), podemos simplificar:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar drhodt = -Cv rho :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que descreve como a densidade muda com o tempo.

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, podemos separá-las e integrar:
drhorho = -Cv dt
Integrando ambos os lados:
ln(rho) = -Cv t + K
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
rho = e^-Cv t + K = e^K e^-Cv t
Podemos reescrever rho(t) = rho0 e^-Cv t como rho(t) = rho0 e^-Cv t , a densidade inicial:
Então, a fórmula que descreve a densidade em função do tempo é:

Passo 9

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao caso específico. Nos foram dados:
  • Diâmetro da esfera: 50 cm, então o raio v = 43 pi (0,25)^3 approx 0,06545 m^3 .
  • Volume de uma esfera: C = dotm0rho0 .
Calculando o volume:
Também nos foi dado que a taxa de exaustão inicial é quando . Usando a equação , podemos encontrar :

Passo 10

Precisamos encontrar o tempo rho02 = rho0 e^-Cv t para que a densidade caia para metade do valor inicial, ou seja, 12 = e^-Cv t .
Usando a fórmula da densidade:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 11

Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(12) = -Cv t
Sabemos que -ln(2) = -Cv t , então:
t = v ln(2)C
Simplificando:

Passo 12

Substituindo t = v ln(2)dotm0rho0 = v rho0 ln(2)dotm0 na equação de t = v rho0 ln(2)dotm0 :
Então, o tempo necessário para a densidade cair pela metade é:

Passo 13

Para finalizar, vamos recapitular os valores conhecidos e necessários:
  • Volume P v = m R T
  • Taxa de exaustão inicial rho0 = PR T
  • Precisamos da densidade inicial rho0 = 300 times 10^3287 times 373 approx 2,81 kg/m^3 , que podemos encontrar usando a equação de estado dos gases ideais:
Onde:
  • ,
  • ,
  • para o ar,
  • .
Rearranjando:
Substituindo os valores:

Passo 14

Agora, substituímos todos os valores na fórmula para t = 0,06545 times 2,81 times ln(2)0,01 approx 0,06545 times 2,81 times 0,69310,01 :
t approx 0,06545 times 2,81 times 0,69310,01 approx 0,1270,01 approx 12,7 segundos
Calculando:

Resposta

O tempo necessário para a densidade do tanque cair pela metade é aproximadamente 12,7 segundos.

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