3.29 In elementary compressible-flow theory <br> (Chap. 9), compressed air will exhaust from a <br> small hole in a tank at the mass flow rate <br>
, where
is the air density in the tank <br> e
é uma constante. If
is the initial density in <br> a tank of volume
, derive a formula for the density change
after the hole is opened. <br> Apply your formula to the following case: a <br> spherical tank of diameter 50 cm, with initial <br> pressure 300 kPa and temperature
, and a hole whose initial exhaust rate is
. <br> Find the time required for the tank density to drop by 50 percent.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente está lidando com teoria de fluxo compressível. A situação envolve ar comprimido saindo de um tanque por um pequeno orifício. A taxa de fluxo de massa, ou seja, quanta massa de ar sai por segundo, é dada por
, onde
é a densidade do ar no tanque e
é uma constante.
Precisamos derivar uma fórmula para a mudança na densidade
após o orifício ser aberto e, depois, aplicar essa fórmula a um caso específico para determinar quanto tempo leva para a densidade do tanque cair pela metade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a taxa de fluxo de massa e a densidade. A taxa de fluxo de massa
é a quantidade de massa que sai do tanque por unidade de tempo. Segundo a equação dada:
Isso significa que a taxa com que a massa está saindo depende diretamente da densidade do ar no tanque.
Passo 3
Sabemos que a massa total de ar no tanque é igual à densidade vezes o volume do tanque:
Onde:
-
é a massa do ar, -
é a densidade, -
é o volume do tanque.
Passo 4
Como a massa está diminuindo com o tempo devido ao fluxo de saída, podemos relacionar a taxa de mudança da massa com o tempo:
Substituindo
pela expressão em termos de
:
Passo 5
Agora, substituímos
por
na equação acima:
Como o volume
é constante (o tanque não está mudando de tamanho), podemos simplificar:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que descreve como a densidade
muda com o tempo.
Passo 7
Para resolver essa equação diferencial, podemos separá-las e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever
como
, a densidade inicial:
Então, a fórmula que descreve a densidade em função do tempo é:
Passo 9
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao caso específico. Nos foram dados:
- Diâmetro da esfera: 50 cm, então o raio
. - Volume de uma esfera:
.
Calculando o volume:
Também nos foi dado que a taxa de exaustão inicial é
quando
. Usando a equação
, podemos encontrar
:
Passo 10
Precisamos encontrar o tempo
para que a densidade caia para metade do valor inicial, ou seja,
.
Usando a fórmula da densidade:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 11
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 12
Substituindo
na equação de
:
Então, o tempo necessário para a densidade cair pela metade é:
Passo 13
Para finalizar, vamos recapitular os valores conhecidos e necessários:
- Volume
- Taxa de exaustão inicial
- Precisamos da densidade inicial
, que podemos encontrar usando a equação de estado dos gases ideais:
Onde:
-
, -
, -
para o ar, -
.
Rearranjando:
Substituindo os valores:
Passo 14
Agora, substituímos todos os valores na fórmula para
:
Calculando:
Resposta
O tempo necessário para a densidade do tanque cair pela metade é aproximadamente 12,7 segundos.
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. Dado constante do ar
. Supor
.