(Cengel 4-20 - pag. 172) Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelos seguintes componentes no plano xy:
u=0,205+0,97 x+0,851 y v=-0,509+0,953 x-0,97 y
Calcule o campo de aceleração (encontre as expressões para as componentes da aceleração ax e ay) e calcule a aceleração no ponto (x, y)=(2,1,5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional, dado pelas componentes e no plano . Nosso objetivo é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração e , e depois calcular a aceleração no ponto .
Para resolver isso, precisamos usar a teoria do campo de velocidade e das equações de aceleração em fluidos. Vamos seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.

Passo 2

A aceleração em um campo de fluxo é dada pela derivada material da velocidade. Como o campo é estacionário (não depende do tempo), a aceleração simplifica para:
ax = u partial upartial x + v partial upartial y
ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para partial upartial x = 0,97 :
partial upartial y = 0,851
partial vpartial x = 0,953
Para partial vpartial y = -0,97 :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores nas equações de aceleração:
ax = u cdot 0,97 + v cdot 0,851
ay = u cdot 0,953 + v cdot (-0,97)
Essas são as expressões gerais para as componentes da aceleração e em termos de e .

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a aceleração no ponto u = 0,205 + 0,97 cdot 2 + 0,851 cdot 1,5 = 0,205 + 1,94 + 1,2765 = 3,4215 .
Primeiro, encontramos v = -0,509 + 0,953 cdot 2 - 0,97 cdot 1,5 = -0,509 + 1,906 - 1,455 = -0,058 e ax = 3,4215 cdot 0,97 + (-0,058) cdot 0,851 = 3,3183 - 0,0493 = 3,269 nesse ponto:
ay = 3,4215 cdot 0,953 + (-0,058) cdot (-0,97) = 3,2597 + 0,0563 = 3,316
Agora, substituímos e nas expressões de aceleração:

Resposta

No ponto ax = 3,269 , m/s^2 , as componentes da aceleração são:
ay = 3,316 , m/s^2

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