Se A=2+j 2 e B=3+j 4, obtenha A B e A / B. Resposta: 14,14 / 98,1^circ ; 0,56 /-8,1^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois números complexos: $ A = 2 + j2 $ e $ B = 3 + j4 $. A missão é descobrir o produto $ A \times B $ e a divisão $ A / B $. Para resolver isso, vamos usar operações com números complexos na forma retangular (aquela com parte real e imaginária). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto $ A \times B $. Multiplicar números complexos na forma retangular é parecido com distribuir termos em álgebra. Ou seja, multiplicamos cada parte de $ A $ por cada parte de $ B $.

Passo 3

Vamos fazer as contas:
A times B = (2 + j2) times (3 + j4)
Aplicando a distributiva:
= 2 times 3 + 2 times j4 + j2 times 3 + j2 times j4
Calculando cada termo:
= 6 + j8 + j6 + j^2 8
Lembrando que $ j^2 = -1 $:
j^2 = -1
Somando as partes reais e imaginárias:
= 6 + j8 + j6 - 8

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude (módulo) e o ângulo desse resultado:
|A times B| = raiz(-2)^2 + 14^2 = raiz4 + 196 = raiz200 approx 14,14
Para o ângulo:
theta = arctan(14-2) approx 98,1^circ
Observação: Como a parte real é negativa e a imaginária é positiva, o ângulo está no segundo quadrante.

Passo 5

Agora, vamos calcular a divisão $ A / B $. Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado de $ B $, que é $ 3 - j4 $:
A / B

Passo 6

Vamos resolver o numerador e o denominador:
Numerador:
(2)(3) + 2 times (-j4) + j2 times 3 + j2 times (-j4) = 6 - j8 + j6 - j^2 8
Substituindo $ j^2 = -1 $:
j^2 = -1
Denominador:
= 6 - j8 + j6 + 8 = (6 + 8) + j(-8 + 6) = 14 - j2
Então:
(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25
Agora, encontramos a magnitude e o ângulo:
AB = 14 - j225 = 1425 - j225 approx 0,56 - j0,08
Para o ângulo:
|AB| = raiz0,56^2 + (-0,08)^2 approx raiz0,3136 + 0,0064 = raiz0,32 approx 0,56

Resposta

$ 14,14 / 98,1^{\circ} ; 0,56 /-8,1^{\circ} $

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