Considere dois tubos cilindricos coaxiais metálicos, com raios e . O tubo interno tem carga e o externo carga .
Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois tubos cilíndricos metálicos que são coaxiais, ou seja, têm o mesmo eixo. O tubo interno tem raio a e carga +Q, e o externo tem raio b com carga -Q. Nosso objetivo é calcular o vetor campo elétrico em todo o espaço ao redor desses tubos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica, como a simetria cilíndrica que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro do tubo interno, ou seja, para pontos onde a distância ao eixo é menor que a (r < a). Como estamos lidando com um condutor metálico em equilíbrio eletrostático, sabemos que as cargas estão distribuídas apenas na superfície. Assim, dentro do condutor, o campo elétrico é zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a região entre os dois tubos, onde a distância ao eixo está entre a e b (a < r < b). Aqui, usamos a Lei de Gauss. Imaginamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L entre os dois tubos. A carga dentro dessa superfície é apenas a carga do tubo interno, que é +Q.
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, a equação simplifica para:
Resolvendo para E:
Mas, como Q/L representa a densidade linear de carga, podemos escrever:
onde λ = Q/L.
Passo 4
Por fim, vamos considerar o campo elétrico fora do tubo externo, ou seja, para distâncias maiores que b (r > b). Aqui, temos duas cargas: +Q no tubo interno e -Q no tubo externo. A soma dessas cargas é zero (+Q - Q = 0). Então, aplicando novamente a Lei de Gauss, percebemos que não há carga líquida dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico também é zero nessa região.
Resposta
Resumindo, o vetor campo elétrico E® em todo o espaço é: