Considere dois tubos cilindricos coaxiais metálicos, com raios a e b. O tubo interno tem carga +Q e o externo carga -Q.
Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois tubos cilíndricos metálicos que são coaxiais, ou seja, têm o mesmo eixo. O tubo interno tem raio a e carga +Q, e o externo tem raio b com carga -Q. Nosso objetivo é calcular o vetor campo elétrico em todo o espaço ao redor desses tubos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica, como a simetria cilíndrica que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro do tubo interno, ou seja, para pontos onde a distância ao eixo é menor que a (r < a). Como estamos lidando com um condutor metálico em equilíbrio eletrostático, sabemos que as cargas estão distribuídas apenas na superfície. Assim, dentro do condutor, o campo elétrico é zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a região entre os dois tubos, onde a distância ao eixo está entre a e b (a < r < b). Aqui, usamos a Lei de Gauss. Imaginamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L entre os dois tubos. A carga dentro dessa superfície é apenas a carga do tubo interno, que é +Q.
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como o campo elétrico é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela, a equação simplifica para:
E cdot (2pi r L) = Qvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q2pi varepsilon0 r L
Mas, como Q/L representa a densidade linear de carga, podemos escrever:
E = lambda2pi varepsilon0 r
onde λ = Q/L.

Passo 4

Por fim, vamos considerar o campo elétrico fora do tubo externo, ou seja, para distâncias maiores que b (r > b). Aqui, temos duas cargas: +Q no tubo interno e -Q no tubo externo. A soma dessas cargas é zero (+Q - Q = 0). Então, aplicando novamente a Lei de Gauss, percebemos que não há carga líquida dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico também é zero nessa região.

Resposta

Resumindo, o vetor campo elétrico em todo o espaço é:
E(r) = 0 & para r < a Q2pi varepsilon0 r L r & para a < r < b 0 & para r > b
Onde r é o vetor unitário na direção radial.

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