30.46 • PC CALC Um cabo coaxial. Um pequeno condutor maciço com raio
é suportado por dois discos isolantes não magnéticos no eixo de um tubo com paredes finas de raio interno igual a
. Os condutores interno e externo conduzem correntes de mesmo módulo
, porém com sentidos contrários. (a) Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. (b) Escreva a expressão para o fluxo magnético
através de uma faixa estreita de comprimento
paralela ao eixo, com espessura
, situada a uma distância
do centro do cabo e sobre o plano que contém o eixo. © Integre a expressão encontrada no item (b) sobre o volume entre os dois condutores, para calcular o fluxo magnético produzido pela corrente
que passa no condutor central. (d) Mostre que a indutância
de um comprimento
do cabo é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cabo coaxial com dois condutores que têm correntes iguais, mas em sentidos opostos. A gente vai usar a Lei de Ampère, que ajuda a determinar o campo magnético ao redor de condutores com corrente elétrica. Para resolver esse exercício, precisamos entender conceitos de magnetostática, campo magnético, fluxo magnético e indutância. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Queremos determinar o campo magnético em qualquer ponto entre os condutores usando a Lei de Ampère.
Primeiro, a Lei de Ampère nos diz que:
onde $ \vec{B} $ é o campo magnético, $ d\vec{l} $ é um elemento de caminho, $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo e $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho.
No caso do cabo coaxial, vamos considerar um caminho circular de raio $ r $ entre $ a $ e $ b $. Como a corrente no condutor interno é $ i $ e a externa é $ -i $, a corrente encerrada pelo nosso caminho Ampère será apenas a corrente do condutor interno, já que a externa cancela.
Portanto:
Como o campo $ \vec{B} $ é simétrico e tangencial ao caminho, podemos simplificar:
Resolvendo para $ B $:
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos escrever a expressão para o fluxo magnético $ d\Phi_{B} $ através de uma faixa estreita de comprimento $ l $, paralela ao eixo, com espessura $ dr $ e a uma distância $ r $ do centro.
O fluxo magnético é dado por:
onde $ A $ é a área da faixa.
Aqui, a área $ A $ é:
Substituindo o campo $ B $ que encontramos na parte (a):
Ou seja:
Passo 4
Parte ©: Vamos integrar a expressão de $ d\Phi_{B} $ sobre o volume entre os dois condutores para encontrar o fluxo magnético total $ \Phi_{B} $.
A integração será de $ r = a $ até $ r = b $:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Parte (d): Queremos mostrar que a indutância $ L $ de um comprimento $ l $ do cabo é dada por:
Sabemos que a indutância é definida por:
Substituindo a expressão de $ \Phi_{B} $ que encontramos na parte ©:
Resposta
A indutância $ L $ de um comprimento $ l $ do cabo coaxial é dada por: