[30 pontos] Considere a EDO . Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) não-homogêneas. A gente vai usar o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando a equação tem um termo que não é igual a zero (no caso, ). Para isso, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a parte específica da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, temos que , então ou . Portanto, as soluções da homogênea são:

Passo 3

Agora que temos as soluções da homogênea, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução particular da equação n��o-homogênea . O método da variação de parâmetros assume que a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , primeiro calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso reduz a expressão de e facilita a resolução.

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação original , vamos eliminar termos e obter um sistema de equações para e . Após simplificar, teremos o seguinte sistema:
Isso nos permite resolver para e .

Passo 6

Resolvendo o sistema, usamos determinantes (regra de Cramer) para encontrar e :
Onde é o Wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:

Passo 7

Substituindo nas expressões de e , temos:
Agora, precisamos integrar e para encontrar e .

Passo 8

Integrando e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando uma tabela de integrais. Vamos resolver uma delas como exemplo.

Passo 9

Vamos resolver :
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Repete-se a integração por partes para e assim por diante, até resolver completamente.

Passo 10

Após resolver as integrais, obtemos e . Então, substituímos esses valores na expressão de :
Isso nos dá a solução particular da equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.

Resposta

A solução particular da equação diferencial encontrada pelo método da variação de parâmetros é:

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