[30 pontos] Considere a EDO
. Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea.
(b) [15 pontos] Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) não-homogêneas. A gente vai usar o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular quando a equação tem um termo que não é igual a zero (no caso,
). Para isso, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a parte específica da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos que
, então
ou
. Portanto, as soluções da homogênea são:
Passo 3
Agora que temos as soluções da homogênea, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução particular da equação n��o-homogênea
. O método da variação de parâmetros assume que a solução particular
pode ser escrita como:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, primeiro calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso reduz a expressão de
e facilita a resolução.
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação original
, vamos eliminar termos e obter um sistema de equações para
e
. Após simplificar, teremos o seguinte sistema:
Isso nos permite resolver para
e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema, usamos determinantes (regra de Cramer) para encontrar
e
:
Onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:
Passo 7
Substituindo
nas expressões de
e
, temos:
Agora, precisamos integrar
e
para encontrar
e
.
Passo 8
Integrando
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando uma tabela de integrais. Vamos resolver uma delas como exemplo.
Passo 9
Vamos resolver
:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Repete-se a integração por partes para
e assim por diante, até resolver completamente.
Passo 10
Após resolver as integrais, obtemos
e
. Então, substituímos esses valores na expressão de
:
Isso nos dá a solução particular da equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
Resposta
A solução particular da equação diferencial
encontrada pelo método da variação de parâmetros é:
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