Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a função
em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar onde a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, principalmente a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
para encontrar a primeira derivada, que nos dá a taxa de variação da função.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Derivando
:
Passo 4
Para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
antes e depois de
para determinar a concavidade:
-
Para
, escolhemos : -
Para
, escolhemos :
Passo 6
Como a concavidade muda de para baixo para para cima em
, esse ponto é um ponto de inflexão da função.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
. Para valores de
menores que
, a função é côncava para baixo, e para valores maiores, é côncava para cima.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções a seguir.
(k) ;
(k)
[18 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO é
;
(I) [ ] A solução geral da EDO
[30 pontos] Considere a EDO
. Em cada item, faça o que se pede.
(b) [15 pontos] Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea.
(b) [15 pontos] Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea.
Faça uma introdução sobre o método de separação de variáveis.