Estude as funções a seguir com respeito à concavidade e pontos de inflexão.
(b) f(x) = e^(-x) - e^(-3 x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a função em relação à concavidade e aos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar onde a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, principalmente a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função para encontrar a primeira derivada, que nos dá a taxa de variação da função.
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Derivando :

Passo 4

Para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver :
Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 5

Vamos analisar o sinal de antes e depois de para determinar a concavidade:
  • Para , escolhemos :
  • Para , escolhemos :

Passo 6

Como a concavidade muda de para baixo para para cima em , esse ponto é um ponto de inflexão da função.

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em . Para valores de menores que , a função é côncava para baixo, e para valores maiores, é côncava para cima.

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