340 kg de extrato de tomate, inicialmente a 20^circ C, são aquecidos num tacho semi esférico agitado e encamisado com 1 m de diâmetro. Utiliza-se vapor ( P=1,94 atm ) como utilidade neste processo. Obtenha: (Dados: U(kW / m^2 ^circ C)=2 ; Cpp(cal g^-1 ^circ C^-1)=0,8 ; rho(g cm^-3)=1,2)
Quais são as taxas e as quantidades totais de vapor demandadas nas condições anteriores?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 340 kg de extrato de tomate que estão a 20°C e precisam ser aquecidos em um tacho semi esférico com 1 metro de diâmetro. Para isso, vamos usar vapor a 1,94 atm. A matéria que vamos mexer aqui é de transferência de calor, onde precisamos calcular tanto a taxa de vapor necessária para o aquecimento quanto a quantidade total de vapor usada no processo. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de transferência de calor e propriedades físicas dadas no exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade total de calor necessária para aquecer o extrato de tomate. A fórmula que usamos para isso é:
Q = m times Cp times De
Onde:
  • $ Q $ é o calor total (em cal)
  • $ m $ é a massa do extrato (340 kg, que vamos converter para gramas)
  • $ C_p $ é a capacidade térmica específica do produto (0,8 cal/g°C)
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura (vamos precisar definir até que temperatura queremos aquecer, mas como não foi especificado, vou assumir que seja até 100°C, que é uma temperatura comum para aquecer alimentos)
Convertendo a massa para gramas:
Q
Calculando a variação de temperatura:
m
Agora, calculando o calor total:
Cp

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície do tacho semi esférico para saber quanto calor está sendo transferido por unidade de área. A fórmula para a área de uma esfera completa é:
Aesfera = 4pi r^2
Como o tacho é semi esférico, a área será metade disso:
A = 2pi r^2
Sabendo que o diâmetro é 1 metro, o raio $ r $ é 0,5 metros. Então:
r
Calculando:
A = 2pi (0,5)^2 = 2pi times 0,25 = 0,5pi , m^2

Passo 4

A próxima etapa é usar a fórmula da transferência de calor para encontrar a taxa de calor transferida:
Q = U times A times De
Reorganizando para encontrar $ U $:
U
Q = 2 , kW/m^2°C times 1,5708 , m^2 times 80°C
Q = 2 times 1,5708 times 80
Esse é o calor total que precisa ser transferido por segundo. Mas como já calculamos o calor total necessário (21.760.000 cal), precisamos converter calor por segundo (kW) para o total usando o tempo.

Passo 5

Para encontrar a quantidade de vapor necessária, precisamos saber a quantidade de calor que um grama de vapor libera ao condensar. Essa é a entalpia de vaporização, que em 1 atm é aproximadamente 540 cal/g, mas como a pressão é 1,94 atm, vamos assumir um valor similar para simplificação (vamos usar 540 cal/g).
Então, a massa de vapor necessária é:
Massa de vapor = Qentalpia de vaporização çã
Massa de vapor = 21,760,000 , cal540 , cal/g
Massa de vapor approx 40,296 , g
Massa de vapor approx 40,3 , kg

Resposta

A taxa de vapor demandada é de aproximadamente 251,33 kW e a quantidade total de vapor necessária para o processo é de cerca de 40,3 kg.

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