35-38 Encontre y'' por derivação implícita.

Passo 1

Vamos encontrar a segunda derivada de , ou seja, , usando derivação implícita. A derivação implícita é usada quando temos uma equação que relaciona e de forma que não está isolada. Para resolver isso, precisamos conhecer as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, suponha que temos uma equação implícita que relaciona e , por exemplo:
Nossa meta é encontrar , a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Para encontrar (a primeira derivada), derivamos ambos os lados da equação em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar os termos que contêm :
Isso resulta em:
Onde é a derivada parcial de em relação a e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Resolvendo para :
Agora que temos , podemos proceder para encontrar .

Passo 5

Para encontrar , derivamos novamente em relação a :
Aplicamos a regra do quociente:
Onde:
  • é a segunda derivada parcial de em relação a ,
  • é a derivada parcial mista de em relação a e depois a .

Resposta

Assim, a segunda derivada de em relação a é:

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