35-38 Encontre
por derivação implícita.
Passo 1
Vamos encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
, usando derivação implícita. A derivação implícita é usada quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que
não está isolada. Para resolver isso, precisamos conhecer as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, suponha que temos uma equação implícita que relaciona
e
, por exemplo:
Nossa meta é encontrar
, a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para encontrar
(a primeira derivada), derivamos ambos os lados da equação
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar os termos que contêm
:
Isso resulta em:
Onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Resolvendo para
:
Agora que temos
, podemos proceder para encontrar
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos novamente
em relação a
:
Aplicamos a regra do quociente:
Onde:
-
é a segunda derivada parcial de em relação a , -
é a derivada parcial mista de em relação a e depois a .
Resposta
Assim, a segunda derivada de
em relação a
é: