3a Questão (Valor: 2,0): O ponto crítico de uma peça de material frágil está sujeito ao estado plano de tensão com componentes de tensāo no plano:
e
. Sendo a tensioo de ruptura à tração e à compressão do material iguais a
, haverá falha nesse ponto sogundo a teoria da máxima tensio normal? Justifique,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ponto crítico em um material frágil que está sofrendo certas tensões no plano. Queremos saber se esse ponto vai falhar de acordo com a teoria da máxima tensão normal. Para resolver isso, vamos precisar entender as componentes das tensões no plano e comparar com a tensão de ruptura do material.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as componentes de tensão fornecidas:
Aqui,
é a tensão normal no eixo x,
é a tensão normal no eixo y, e
é a tensão de cisalhamento.
Passo 3
De acordo com a teoria da máxima tensão normal, a falha ocorre quando qualquer tensão normal no ponto excede a tensão de ruptura do material. Então, precisamos encontrar as tensões normais principais no ponto crítico.
Passo 4
As tensões principais,
e
, podem ser calculadas pelas fórmulas:
Vamos substituir os valores fornecidos.
Passo 5
Vamos calcular a média das tensões normais:
Passo 6
Agora, calculamos a parte dentro da raiz:
Então, a raiz quadrada disso é:
Passo 7
Agora, encontramos as tensões principais:
Aqui,
é a tensão máxima e
é a tensão mínima.
Passo 8
A tensão de ruptura do material é
tanto para tração quanto para compressão. Vamos comparar as tensões principais com esse valor.
Passo 9
Resposta
Sim, haverá falha no ponto crítico segundo a teoria da máxima tensão normal, porque a tensão compressiva
excede a tensão de ruptura à compressão de
.