3a Questão (Valor: 2,0): O ponto crítico de uma peça de material frágil está sujeito ao estado plano de tensão com componentes de tensāo no plano: e . Sendo a tensioo de ruptura à tração e à compressão do material iguais a , haverá falha nesse ponto sogundo a teoria da máxima tensio normal? Justifique,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ponto crítico em um material frágil que está sofrendo certas tensões no plano. Queremos saber se esse ponto vai falhar de acordo com a teoria da máxima tensão normal. Para resolver isso, vamos precisar entender as componentes das tensões no plano e comparar com a tensão de ruptura do material.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as componentes de tensão fornecidas:
Aqui, é a tensão normal no eixo x, é a tensão normal no eixo y, e é a tensão de cisalhamento.

Passo 3

De acordo com a teoria da máxima tensão normal, a falha ocorre quando qualquer tensão normal no ponto excede a tensão de ruptura do material. Então, precisamos encontrar as tensões normais principais no ponto crítico.

Passo 4

As tensões principais, e , podem ser calculadas pelas fórmulas:
Vamos substituir os valores fornecidos.

Passo 5

Vamos calcular a média das tensões normais:

Passo 6

Agora, calculamos a parte dentro da raiz:
Então, a raiz quadrada disso é:

Passo 7

Agora, encontramos as tensões principais:
Aqui, é a tensão máxima e é a tensão mínima.

Passo 8

A tensão de ruptura do material é tanto para tração quanto para compressão. Vamos comparar as tensões principais com esse valor.

Passo 9

está abaixo de , então não há falha por tração.
está ligeiramente acima de , ou seja, na compressão, ultrapassa o limite de ruptura.

Resposta

Sim, haverá falha no ponto crítico segundo a teoria da máxima tensão normal, porque a tensão compressiva excede a tensão de ruptura à compressão de .

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