2 ^ Q Questāo (Valor: 2,0): As deformaçōes normais e cisalhante no plano de tensāo de ponto de uma peça são varepsilonx=-100 cdot 10^-6, varepsilony=+300 cdot 10^-6 e gammax y=-500 cdot 10^-6. Obtenha (a) (valor: 1,0 ) a deformação principal máxima e a direção em que ela ocorre, e (b) (valor: 1,0) a tensāo cisalhante máxima absoluta nesse ponto, sendo o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material da peça iguais a 210 GPa e 0,25 , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá as deformações normais e cisalhantes em um ponto de uma peça, e pede para a gente encontrar:
a) A deformação principal máxima e a direção em que ela ocorre.
b) A tensão cisalhante máxima absoluta nesse ponto.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformações em planos de tensão. Vamos precisar das fórmulas para encontrar deformações principais e tensões cisalhantes máximas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são deformações principais. Elas são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções perpendiculares no material, sem deformação cisalhante. Para encontrá-las, usamos as deformações normais dadas: varepsilon1,2 = varepsilonx + varepsilony2 pm raiz(varepsilonx - varepsilony2)^2 + (gammaxy2)^2 e , além da deformação cisalhante .
A fórmula para encontrar as deformações principais ( e ) é:

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
varepsilonx = -100 times 10^-6
varepsilony = 300 times 10^-6
gammaxy = -500 times 10^-6
Primeiro, calculamos -100 times 10^-6 + 300 times 10^-62 = 200 times 10^-62 = 100 times 10^-6 :

Passo 4

Agora, calculamos -100 times 10^-6 - 300 times 10^-62 = -400 times 10^-62 = -200 times 10^-6 :
-500 times 10^-62 = -250 times 10^-6
E :

Passo 5

Agora, calculamos o termo dentro da raiz quadrada:
(-200 times 10^-6)^2 + (-250 times 10^-6)^2 = 4 times 10^-8 + 6.25 times 10^-8 = 1.025 times 10^-7
Então:
raiz1.025 times 10^-7 approx 320.16 times 10^-6

Passo 6

Finalmente, encontramos as deformações principais:
varepsilon1 = 100 times 10^-6 + 320.16 times 10^-6 = 420.16 times 10^-6
varepsilon2 = 100 times 10^-6 - 320.16 times 10^-6 = -220.16 times 10^-6
A deformação principal máxima é e ocorre na direção da .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante máxima absoluta. Sabemos que a tensão cisalhante máxima ( taumax = G gammamax ) está relacionada à deformação cisalhante máxima pela seguinte relação:
G = E2(1 + nu)
Onde é o módulo de cisalhamento, relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson por:

Passo 8

Primeiro, calculamos o módulo de cisalhamento E = 210 GPa = 210 times 10^9 Pa :
nu = 0.25
G = 210 times 10^92(1 + 0.25) = 210 times 10^92.5 = 84 times 10^9 Pa = 84 GPa

Passo 9

A deformação cisalhante máxima gammamax = 500 times 10^-6 já foi dada como taumax = 84 times 10^9 times 500 times 10^-6 = 42 times 10^6 Pa = 42 MPa , mas precisamos considerar o valor absoluto:
Então, a tensão cisalhante máxima é:

Resposta

a) A deformação principal máxima é e ocorre na direção correspondente a .
b) A tensão cisalhante máxima absoluta nesse ponto é de .

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