do Problema
está a 1000 kPa ,
e sua massa é de
. Ele é resfriado de modo que seu volume é reduzido à metade do inicial. A massa do pistão e a aceleração gravitacional são tais que a pressão de 400 kPa equilibra o pistão. Determine o trabalho no processo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. Temos um sistema que está a uma pressão de 1000 kPa, temperatura de 50°C e massa de 0,1 kg. Esse sistema é resfriado de maneira que o volume diminui pra metade do que era inicialmente. Além disso, a pressão do pistão que está equilibrando o sistema é de 400 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o trabalho realizado nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho em termodinâmica. O trabalho $ W $ realizado por um sistema durante uma expansão ou compressão é dado pela fórmula:
Onde $ P $ é a pressão externa e $ dV $ é a variação de volume. No nosso caso, a pressão externa é constante em 400 kPa devido ao pistão. Isso simplifica a integral, já que podemos tirar a pressão de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos determinar a variação de volume $ \Delta V $. Inicialmente, o volume é $ V_i $ e depois diminui para metade, ou seja, $ V_f = \frac{V_i}{2} $. Então, a variação de volume é:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo, ou seja, o sistema está sendo comprimido.
Passo 4
Para encontrar $ V_i $, precisamos usar a equação de estado dos gases ideais, que é:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é o número de mols,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Mas como a massa $ m $ e a massa molar $ M $ não foram fornecidas, vamos assumir que estamos lidando com um gás ideal e que podemos relacionar diretamente a pressão e o volume:
Sabemos que $ P_i = 1000 $ kPa e $ P_f = 400 $ kPa. E $ V_f = \frac{V_i}{2} $. Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, então precisamos revisar. Na verdade, para encontrar $ V_i $, precisamos de mais informações sobre a temperatura ou massa molar, que não temos. Portanto, vamos proceder de outra maneira.
Passo 5
Vamos considerar a relação entre inicial e final, sabendo que o volume final é a metade do inicial e que a pressão externa é constante. O trabalho $ W $ então fica:
Passo 6
Precisamos encontrar $ V_i $. Usando a equação de estado para o estado inicial:
Aqui, $ m = 0,1 $ kg, $ T = 50°C = 323 $ K (convertendo para Kelvin), e $ R $ é a constante específica do gás. Sem o valor de $ R $, não podemos calcular numericamente. Portanto, vamos expressar o trabalho em termos de $ R $:
Substituindo na expressão do trabalho:
Simplificando os números:
Resposta
O trabalho realizado no processo é $ W = -0,00646 \times R $ kJ, onde $ R $ é a constante dos gases utilizada.